Определим для сигнала s(t) энергию сигнала E следующей формулой.
(1)
Если использовать равенство Парсеваля для преобразования Фурье, то энергию сигнала можно выразить через спектр сигнала(2)
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
принцип неопределенности для сигналов в плоскости время-частота
Содержание
- 1. принцип неопределенности для сигналов в плоскости время-частота
- 2. Если перейти к нормированному сигналу по формулето
- 3. Определим для спектра S(f) ширину спектра Δf
- 4. ! Доказать , что для действительных сигналов
- 5. где среднее значение времени
- 6. Поэтому длительность импульса будем находить по формуле(10)
- 7. Доказательство. Перемножим формулы (7) и (10) (12)
- 8. Запишем равенство Парсеваля для производной
- 9. Вспоминаем, что в пространстве
- 10. Вспоминаем неравенство Коши – Буняковского. (18)
- 11. Интеграл в формуле (19) вычислим, используя интегрирование
- 12. Это следует из следующих соображений.
- 13. Из пределов (23) вытекает, что существуют также
- 14. Подставляем формулу (25) в
- 15. Спектр дискретного сигнала Напомним, что
- 16. Слайд 16
- 17. Слайд 17
- 18. Аргументом непрерывного сигнала s(t)
- 19. Для периодического сигнала, который
- 20. Расстояние между соседними частотами
- 21. После подстановки формулы (33)
- 22. (35) Таким образом, для периодического
- 23. Интеграл в этом преобразовании
- 24. Для этого воспользуемся свойствами спектра
- 25. Здесь мы учли, что
- 26. (39) Здесь частота, стоящая в пределах
- 27. (41) Меняем порядок интегрирования и суммирования
- 28. Символ Кронекера определяется соотношением (43)
- 29. Напомним, что аналогичным свойством обладает
- 30. Теперь интеграл в формуле (42)
- 31. Спектральные свойства сигналов трех основных типовУкажем основные
- 32. 1. Для финитного непрерывного сигнала эту
- 33. 3. Для дискретного сигнала в качестве
- 34. Соотношение между спектрами непрерывного и дискретного сигналов
- 35. (52) В выражении (52) интеграл
- 36. затем поменяем местами порядок суммирования и
- 37. Таким образом, спектр дискретного
- 38. Слайд 38
- 39. Слайд 39
- 40. Слайд 40
- 41. Слайд 41
- 42. Теорема Котельникова Для цифровой обработки
- 43. Теорема 2. (Теорема отсчетов). Если сигнал s(t)
- 44. Доказательство. Выразим сигнал через его спектр(60)
- 45. Спектр S(f) , принимающий
- 46. Тогда получаем(63) Здесь при переходе от первой суммы ко второй была совершена замена
- 47. Берем формулу для сигнала
- 48. Отсюда, учитывая, что интеграл в (65) равен(66)получаем утверждение теоремы.! Доказать справедливость формулы (66).
- 49. Итак, шаг дискретизации Δt
- 50. Это условие можно записать через частоту Найквиста
- 51. Скачать презентанцию
Если перейти к нормированному сигналу по формулето энергия нормированного сигнала будет равна единице. (3) Поэтому дальше будем предполагать, что сигнал s(t) нормирован и имеет энергию равную единице. Для простоты
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Лекция 5
Принцип неопределенности для сигналов в плоскости время-частота
Определим для сигнала s(t) энергию сигнала E следующей формулой.
Если использовать равенство Парсеваля для преобразования Фурье, то энергию сигнала можно выразить через спектр сигнала
Слайд 2Если перейти к нормированному сигналу по формуле
то энергия нормированного сигнала
будет равна единице.
(3)
Поэтому дальше будем
предполагать, что сигнал s(t) нормирован и имеет энергию равную единице. Для простоты тильду ( ~ ) будем опускать. 
Слайд 3Определим для спектра S(f) ширину спектра Δf по формуле
(4)
где среднее
значение частоты равно
(5)
Если
сигнал s(t) - действительная функция, то среднее значение частоты равно нулю(6)
Слайд 4! Доказать , что для действительных сигналов среднее значение частоты
.
Поэтому
ширину спектра будем находить по формуле(7)
Определим для сигнала s(t) длительность импульса Δt по формуле
(8)
Слайд 5где среднее значение времени равно
(9)
Всегда можно сигнал сдвинуть по оси времени, так
что среднее значение времени будет равно нулю. Используя свойство [3] интегрального преобразования Фурье, можно показать, что при этом АЧХ сигнала не измениться.! Используя свойство [3] интегрального преобразования Фурье, показать, что АЧХ сигнала не измениться при любом сдвиге сигнала по оси времени.
Слайд 6Поэтому длительность импульса будем находить по формуле
(10)
Теорема 1. Для
любых дифференцируемых вещественных сигналов единичной энергии произведение ширины спектра по
формуле (7) и длительности импульса по формуле (10) ограничено снизу:(11)
Слайд 7Доказательство. Перемножим формулы (7) и (10)
(12)
Первый интеграл в формуле (12) преобразуем следующим образом. Используем свойство
[7] преобразования Фурье. В этом случае производной от сигнала s(t) соответствует следующий спектр.(13)
Слайд 8Запишем равенство Парсеваля для производной .
(14)
После подстановки формулы (14) в формулу (12)
последняя формула принимает вид(15)
Слайд 9 Вспоминаем, что в пространстве
скалярное произведение и норма задаются следующими выражениями.
(16)
Заменяем в формуле (15) интегралы соответствующими нормами(17)
Слайд 10Вспоминаем неравенство Коши – Буняковского.
(18)
Формула
(17) после применения неравенства Коши – Буняковского принимает вид
(19)
Слайд 11Интеграл в формуле (19) вычислим, используя интегрирование по частям
(20)
Первый
член в правой части формулы (20) обращается в ноль.
(21)
Слайд 12 Это следует из следующих соображений. В нашем доказательстве
мы предполагаем, что существует конечный интеграл (10), который определяет ширину
импульса.(22)
Из математического анализа известно, что в этом случае существуют пределы
(23)
Слайд 13Из пределов (23) вытекает, что существуют также пределы
(24)
Отсюда видно, что выполняется формула (21).
Интеграл в правой части формулы (20) равен единице, потому что по формуле (1) этот интеграл равен энергии сигнала E . Мы в доказательстве предполагаем, что сигнал у нас нормированный и его энергия равна единице. Поэтому формула (20) принимает следующий вид.
(25)
Слайд 14 Подставляем формулу (25) в неравенство (19) ,
в результате получаем выражение
(26)
Извлекаем квадратный корень
из левой и правой частей формулы (26), и получаем(27)
! Доказать, что для ненормированного сигнала неравенство (27) принимает вид.
(28)
Слайд 15Спектр дискретного сигнала
Напомним, что дискретный сигнал получают
из непрерывного сигнала (аналогового сигнала) с помощью дискретизации.
(29)
здесь
Δt - шаг дискретизации, а числа называют отсчетами сигнала.На рисунке показано как из непрерывного сигнала получают дискретный сигнал.
Слайд 18 Аргументом непрерывного сигнала s(t) является время
t ∈ (-∞,
+∞). Аргументом дискретного сигнала является индекс n ∈ Ζ .Возникает вопрос, как распространить понятие частотный спектр на дискретный сигнал.
Напомним, что для финитного непрерывного сигнала спектр определяется преобразованием Фурье.
(30)
Слайд 19 Для периодического сигнала, который является инфинитным, понятие
спектра можно ввести с помощью комплексного ряда Фурье.
(31)
Разложение в ряд Фурье (31) означает, что периодический сигнал s(t) с периодом T содержит в себе гармонические колебания с частотами(32)
Слайд 20 Расстояние между соседними частотами определяется соотношением
(33)
Сравнивая формулы (30) и (31) по аналогии свяжем
спектр периодического сигнала с коэффициентами разложения в ряд Фурье
Слайд 21 После подстановки формулы (33) в выражения для
комплексного ряда Фурье (31), последний примет вид
(34)
Таким образом, спектр периодического сигнала оказался дискретным, или еще говорят линейчатым. По аналогии с непрерывным спектром финитного сигнала, можно ввести амплитудно-частотную характеристику сигнала (АЧХ) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ)
Слайд 22
(35)
Таким образом, для периодического сигнала АЧХ и
ФЧХ являются дискретными.
Теперь посмотрим, как можно получить спектр
дискретного сигнала. За основу возьмем спектр непрерывного сигнала s(t) , из которого получен дискретный сигнал . Спектр непрерывного сигнала находим из преобразования Фурье.
(36)
Слайд 23 Интеграл в этом преобразовании будем вычислять приближенно
по формуле прямоугольников. В качестве опорных точек интегрирования возьмем отсчеты
дискретного сигнала , а в качестве промежутков интегрирования возьмем шаг дискретизации Δt . Тогда вместо интеграла (36) появится сумма, которую и назовем спектром дискретного сигнала(37)
Слайд 24 Для этого воспользуемся свойствами спектра дискретного сигнала.
1)
Спектр дискретного
сигнала является непрерывной функцией частоты f .2) Спектр дискретного сигнала является периодической функцией с периодом 1/Δt . Покажем это
(38)
Слайд 25 Здесь мы учли, что последняя экспонента в
выражении (38) равна единице по формуле Эйлера
Поскольку
спектр дискретного сигнала оказался периодической функцией, то естественно воспользоваться аналогией с разложением периодического сигнала в ряд Фурье, и выбрать формулы похожие на формулы (34). Поэтому, в качестве обратного преобразования к преобразованию (37), рассмотрим следующую формулу.
Слайд 26
(39)
Здесь частота, стоящая в пределах интеграла называется частотой
Найквиста (Nyquist frequency).
(40)
Докажем справедливость преобразования (39). Для
этого подставим выражение для спектра дискретного сигнала (37) в формулу (39). Кроме того, шаг дискретизации Δt выразим через частоту Найквиста.
Слайд 27
(41)
Меняем порядок интегрирования и суммирования в (41), и
приходим к выражению.
(42)
Интеграл в скобке равен единице, если
n = m и нулю, если n ≠ m . Это свойство можно выразить, введя символ Кронекера.
Слайд 28
Символ Кронекера определяется соотношением
(43)
Основное
свойство символа Кронекера состоит в том, что он свертывает сумму
по следующему правилу(44)
Слайд 29 Напомним, что аналогичным свойством обладает дельта-функция. Только там
речь идет об интегралах, а здесь присутствуют суммы. Вместо формулы
(43) там имеет место формула(45)
Вместо свойства (44) там существует аналогичное свойство
(46)
Слайд 30 Теперь интеграл в формуле (42) может быть выражен
через символ Кронекера.
(47)
! Проведя интегрирование, доказать справедливость формулы (47).
Подставляем формулу (47) в выражение (42), и используя свойства символа Кронекера, получаем.
Слайд 31Спектральные свойства сигналов трех основных типов
Укажем основные спектральные свойства сигналов
трех типов.
Первое, на что следует обратить внимание,
это дискретность и непрерывность спектра.1. Финитный непрерывный сигнал → непрерывный спектр.
2. Периодический сигнал → дискретный спектр.
3. Дискретный сигнал → периодический спектр.
Второе, на что следует обратить внимание, это формулы для нахождения спектра и обратное преобразование для восстановления сигнала по его спектру.
Слайд 321. Для финитного непрерывного сигнала эту задачу выполняет интегральное
преобразование Фурье.
(48)
2. Для периодического сигнала для этой цели подходит
ряд Фурье.(49)
Слайд 333. Для дискретного сигнала в качестве спектра и обратного
преобразования применяют, найденные нами формулы
(50)
Здесь частота F равна частоте
Найквиста.
Слайд 34Соотношение между спектрами непрерывного
и дискретного сигналов
Рассмотрим,
как связан спектр S(f) непрерывного сигнала s(t) со спектром
дискретного сигнала , полученного из непрерывного сигнала с помощью дискретизации.Вычислим обратное преобразование Фурье (48) для дискретных моментов времени
(51)
В результате мы найдем отсчеты дискретного сигнала .
Слайд 35
(52)
В выражении (52) интеграл с бесконечными
пределами разобьем на бесконечную сумму интегралов по конечным интервалам длительностью
2F .(53)
В выражении (53) сначала сделаем замену переменной интегрирования
Слайд 36 затем поменяем местами порядок суммирования и интегрирования.
(54)
Если теперь сравнить выражение (54) с обратным преобразованием для дискретного
сигнала (50), то мы получаем искомую связь.(55)
Слайд 37 Таким образом, спектр дискретного сигнала представляет собой
бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Расстояние по
частоте между соседними копиями спектра равно удвоенной частоте Найквиста.Рассмотрим пример, когда спектр непрерывного сигнала отличено от нуля только в интервале длительностью 2F. В этом случае сдвинутые копии не перекрываются, как это видно из рисунков.
Слайд 42Теорема Котельникова
Для цифровой обработки аналогового сигнала s(t),
прежде всего, необходимо преобразовать его в дискретный сигнал. Взяв определенный
шаг дискретизации Δt можно получить дискретный сигнал по формуле(56)
Проблема восстановления непрерывного (аналогового) сигнала по заданному дискретному сигналу решается теоремой отсчетов.
В отечественной литературе эта теорема известна как теорема Котельникова, а в зарубежной – как теорема Найквиста или теорема Шеннона.
Слайд 43Теорема 2. (Теорема отсчетов). Если сигнал s(t) имеет спектр ограниченный
полосы, т.е. S(f) = 0 при | f | >
F , то функция s(t) может быть точно восстановлена по своим значениям в точках , где(57)
при помощи формулы.
(58)
Введенная здесь частота F называется частотой Найквиста.
Слайд 44Доказательство. Выразим сигнал через его спектр
(60)
Тогда с
использованием формул (56, 57) получаем выражение для дискретного сигнала
Слайд 45 Спектр S(f) , принимающий ненулевые значения только
на отрезке f ∈ [-F, F] , периодически продолжим (с
периодом 2F) на всю ость частот, и полученную в результате периодическую функцию представим в виде комплексного ряда Фурье.(61)
Здесь учтено, что на интервале [-F, F] спектр S(f) и спектр совпадают. Сравнивая поученную запись с выражением для s(kΔt) (60), видим, что
(62)
![Спектр S(f) , принимающий ненулевые значения только на отрезке f ∈ [-F, F] ,](/img/thumbs/fadc898dd6a70fc953d3020150b8517e-800x.jpg "принцип неопределенности для сигналов в плоскости время-частота Спектр S(f) , принимающий ненулевые значения только на отрезке")
Слайд 47 Берем формулу для сигнала (59) и заменяем
в ней спектр S(f) на спектр
(63)(64)
Меняя в последнем выражении порядок интегрирования и суммирования, имеем
(65)
Слайд 48Отсюда, учитывая, что интеграл в (65) равен
(66)
получаем утверждение теоремы.
! Доказать
справедливость формулы (66).
Слайд 49 Итак, шаг дискретизации Δt позволяет точно восстановить
аналоговый сигнал, если его спектр ограничен условием
(67)
Отсюда,
окончательно, критерий для выбора шага дискретизации аналогового сигнала при известной максимальной частоте спектрального представления принимает следующий вид.(68)
Слайд 50Это условие можно записать через частоту Найквиста F
(69)
Другими словами, при дискретизации аналогового сигнала частоту Найквиста надо
выбирать большей максимальной частоты спектра аналогового сигнала.! Написать программу в пакете MATLAB для восстановления сигнала с помощью ряда Котельникова . Проведя интегрирование, доказать справедливость формулы (58).
