Принципы механики. принцип возможных перемещений

Общее уравнение динамики.

-Лагранжа)
Возможные перемещения системы. Число степеней свободы.
Пример применения принципа возможных перемещений

ВОПРОСЫ ТЕМЫ

любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек

Опр. Связи, не изменяющиеся со времени, называются стационарными, а изменяющиеся со временем – нестационарными.

ограничения на положение (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие

3. Связи делятся на интегрируемые и неинтегрируемые.

Опр. Если дифференциальную связи можно представить как геометрическую, т. е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае – неинтегрируемой.

голономными связями) и неголономные (содержащие неголономные связи).
4. Связи делятся на

Опр. Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются связями голономными, а неинтегрируемые дифференциальные связи – неголономными.

5. Связи делятся на удерживающие и неудерживающие.

Опр. Удерживающими связями называются связи, которые накладывают ограничения, сохраняющиеся при любом положении системы, неудерживающимися – связи, которые этими свойствами не обладают (от таких связей система может «освобождаться»).

М движется по плоскости  π, уравнение которой имеет вид z

Ответы № 3 вытекают из определений соответствующих связей.

1) неудерживающие, нестационарные, неголономные

2) удерживающие, стационарные, неголономные

3) неудерживающие,стационарные,голономные(геометрическ.)

4) неудерживающие,нестационарные,голономные (геометрич.)

5) удерживающие, нестационарные,неголономные

и рассматривая перемещения, которые точки механической системы могут иметь при

ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СИСТЕМЫ.
ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.

Существуют только в нашем воображении.
Являются элементарными (бесконечно малыми).
Не нарушают наложенных на систему связей.

Эти перемещения называются возможными (или виртуальными) перемещениями. Они удовлетворяют следующим требованиям:

она его не совершает, а только может совершить .
Это отражается

В математике символом «d» обозначается дифференциал функции, а символом «δ» обозначают вариацию функции. Однако формально они вычисляются одинаково.

При стационарных связях действительное перемещение точки

При нестационарных связях таких совпадений нет.

совпадает с одним из возможных

для любой из систем, которые будут рассматриваться, можно указать некоторое

Опр. Возможными (или виртуальными) перемещениями механической системы называется любая совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

Аналогом существования независимых величин, с помощью которых можно выразить другие величины, являются единичные орты декартовой системы координат

независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней

Для точки, находящейся на некоторой поверхности, любое возможное перемещение

вдоль этой плоскости можно выразить через два независимых перемещения

в виде

Вывод. У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы.

Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат.

обозначается символом

Опр. Возможной работой называется элементарная работа, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки.

Принцип возможных перемещений устанавливает общие условия равновесия.

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.

Принцип формулируется в случае, когда все наложенные на систему связи стационарные.

связи - символом

на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е.

Это равенство

Принцип возможных перемещений. Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю, т.е.

(1)

(2)

не ограничивает
поступательное перемещение вдоль направляющих, по которым заделка может

реакция, перпендикулярная
направляющим, и реактивный момент – МА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.

На составную балку АВ действует распределенная нагрузка интенсивности q = 2 кН/м, наклонная сила F = 4 кН и пара сил с моментом М = 5 кН м. а = 2 м.

Наложены связи: в точке В – неподвижная шарнирная опора, в точке Е – горизонтальная скользящая заделка.
О п р е д е л и т ь: XВ, УВ, УЕ, МЕ.

А) Определим горизонтальную реакцию в шарнире В

1. Заменим неподвижный шарнир В подвижным шарниром и реакцией

2. Сообщим балке АВ возможное перемещение.

Часть балки АС может поступательно перемещаться влево или вправо по горизонтали на

3. Сумма возможных работ всех сил и пар сил, действующих на балку, по принципу Лагранжа должна быть равна нулю.

 ΣδАk = XВ δs + F cos (600) δs = 0,

Обозначим

Шарнир В может перемещаться влево или вправо на

М.ц.с. для ВС лежит в ∞.

∞

Т.е.

Или

Возможное перемещение балки будет поступательным на δs.

XВ + F cos (600) = 0.
Откуда находим XВ

Знак минус указывает на то, что реакция направлена влево.

В) Определим вертикальную реакцию в шарнире В.

1. Заменим неподвижный шарнир В подвижным шарниром и реакцией

2. Сообщим балке АВ возможное перемещение.

Часть балки АС может перемещаться только поступательно влево или вправо, так как в точке Е скользящая заделка.

Шарнир В может перемещаться только вертикально на

 ΣδАk = М δφ – F cos (300) 2 а δφ + УВ 4 а δφ = 0.

Откуда находим УВ = F cos (300) / 2 – М / (4а) = 1,12 (кН).

М. ц. с. для части балки СВ будет в точке С.

Часть балки ВС может поворачиваться вокруг м. ц. с. (т. С) на угол δφ.

3. Сумма возможных работ всех сил и пар сил, действующих на балку, по принципу Лагранжа должна быть равна нулю.

Примечание. Применим выражение для работы силы, приложенной к вращающемуся телу: δА = ± М0Z(F) · δφ .

в точке Е.
1. Заменим скользящую заделку шарнирно подвижной опорой и

2. Сообщим балке АВ возможное перемещение.

Связи допускают только поворот части балки ВС вокруг шарнира В на угловое перемещение δφ1.

3. Составим уравнение возможных работ (1).

 ΣδА k = – М δφ1 – F cos (300) 2 а δφ1 + МЕ δφ2 + Q 3а δφ2 = 0. (3)

М.ц.с. для части балки АС будет в точке Е.
Обозначим угол поворота АС вокруг м. ц. c. через δφ2 .

Выразим δφ2 через δφ1.
δsc = 4 a δφ1 = 2 a δφ2, т. е. δφ2 = 2 δφ1.

в плоскости действия сил, но исключает возможность поворота.
 Подставляя последнее соотношение

Откуда найдем: МЕ =М / 2 + F cos (300) а – Q 3а = – 38,57 (кНм).

D) Определим вертикальную реакцию в скользящей заделке, наложенной на точку Е балки.

1. Заменим скользящую заделку двойной скользящей заделкой, и вертикальной реакцией

2. Сообщим балке АВ возможное перемещение.

Часть балки ВС может повернуться вокруг шарнира В. Обозначим это угловое перемещение δφ.

Тогда другая часть балки АС переместится поступательно на величину δs вверх.

– F cos (300) 2а δφ – Q δs +

 Учитывая, что δφ = 4 а δs, из уравнения (4) найдем
УЕ = М /4а + F cos (300) / 2 + Q = 10,36 (кН).

Е) Сделаем проверку.

Используем уравнения равновесия в основной форме:
ΣFkX = 0, ΣFkУ = 0,

ΣFkX = ХВ + F cos600 = 0, (1)
ΣFkУ = УВ + УЕ – Q – F cos300 = 0, (2)

= Q 5а –УЕ 2а + МЕ + М – F cos (300) 2а + УВ 4а = 0. (3)

Заменим все внешние опоры их реакциями.

всегда выбирать точку С, что позволит проверить все вертикальные реакции

Примечание 1. В тех вариантах, где нет жесткой заделки или скользящей заделки, уравнение (3) (ΣМС = 0) можно не составлять.

Подставляя в уравнение (1) найденную реакцию ХВ , получим:
ΣFkX = XВ + F cos (600) = – 2 + 4/2 ≡ 0.

Подставляя в уравнение (2) реакции УВ и УЕ , найдем:
ΣFkУ = УВ + УЕ – Q – F cos300 = 1,12 + 10,36 – 8 – 3,48 ≡ 0.

= 8 .5 . 2 – 10,36 . 2 . 2 – 38,57 + 5 – 4 . 2 . 2 / 2 +1,12 . 4 .2=
= 93,96 – 93,88 = 0,08 ≈ 0.

Ответ: УВ = 1,12кН, XВ = – 2кН, УЕ =10,36кН, МЕ = – 38,57кНм.

Подставляя в уравнение (3) реакции УВ ,УЕ и момент МЕ, найдем:

Р.
Определить, какую силу

Применение принципа возможных перемещений к простейшим системам.

Решение.

1. Определим число степеней свободы системы.
Если пренебречь трением качения, то плоскость для катков будет идеальной связью. При качении без скольжения у системы одна степень свободы.

– перемещение бревна.
3.Запишем уравнение возможных работ:
F δsB – Q sinα

4. Выразим перемещение δsC через перемещение бревна δsB:
δsC = δsB / 2.

5. Подставляя перемещение δsВ ≠ 0 в уравнение возможных перемещений, и поделив на него, получим:
F – (Q + Р) sinα = 0.

Из последнего выражения находим:
F = (Q + Р) sinα.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи.

то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Применяя последовательно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений получим общий метод решения задач динамики.

и реакций связей

Применяя к этим силам принцип Лагранжа, получим

(3) выражает принцип Даламбера – Лагранжа.
Принцип Даламбера – Лагранжа. При

Равенство (3) называют также общим уравнением динамики.

В аналитической форме уравнение (3) имеет вид

(4)

Уравнения (3) и (4) позволяют составить дифференциальные уравнения движения системы.

имеющей вес Р1 и радиус инерции ρ1, приложен вращающий момент

Барабан, на котором на котором намотана веревка, жестко скреплен с другой шестерней; их общий вес равен Р2 , а радиус инерции относительно оси вращения ρ2.. Радиусы шестерней равны соответственно r1, r2, а радиус барабана r.

Изображаем действующую на систему активную силу

и вращающий момент М (другие силы работу не совершают).

Решение.

с моментами

Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение (3), получим

3. Выражая все перемещения через δφ2

или

искомое
В результате найдем окончательно

4)  10 м/с2



Общее уравнение динамики
Р2δs – F2И δs

Грузы 1 и 2, массы которых m2 = 3m1, прикреплены к тросу, переброшенному через блок радиуса r. Если принять g =10 м/с2 и пренебречь массой блока, то ускорение грузов равно…

4)  27 Нм

Общее уравнение динамики: Мδφ – МИ δφ

Тело 1 поднимается с ускорением а = 3 м/с2, массы тел m1 = m2 = 20 кг, радиус барабана 2, который можно считать однородным цилиндром, r = 0,1м (g = 10 м/с2).
Тогда модуль момента М пары сил равен…

Вычислим силы инерции
F1И = m1a, МИ = J ε = (m2 r2 /2) ·a/ r = m2 a r /2.

Выразим угловое перемещение через линейное δφ = δs / r.
М ⋅ δs / r – m2⋅ a ⋅ r (δs / r) /2 – m1⋅ a ⋅ δs – m1⋅ g ⋅ δs = 0.
Поделив уравнение на δs, найдем: М/ r– m1g – а(m1+ m2/2) = 0.
Откуда: М = (m1g + а(m1+ m2/2)) r = 29 Нм.