Признаки делимости

наук,

Арифметика – царица
математики!

число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление.

Блез Паскаль
(1170 – 1228 г.г.) (1623 – 1162 г.г.)

натуральное число b только в том случае, если сумма произведений

цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

2814 делится на 7, т.к. 2·6 + 8 ·2 + 1 ·3 +4 = 35,
35:7=5 (где 6 – остаток от деления 1000 на 7;
2 - остаток от деления 100 на 7,
3 - остаток от деления 10 на 7)

4 из двух последних

его цифр делится на 4.

135 456 делится на 4, т.к. 56 : 4 = 14

Признак делимости на 8.
Число делится на 8 три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на 8.

21 952 делится на 8, т.к. 952 : 8 = 119

число образованное его последними двумя

цифрами делится на 25.

652 475 делится на 25, т.к. 75 делится на 25

Признаки делимости на 125.
Число делится на 125 число образованное его последними тремя цифрами делится на 125

354 250 делится на 125, т.к. 250 : 125 = 2

результат вычитания удвоенной последней цифры

из этого числа без последней цифры делится на 7.

364 делится на 7, т.к. 36 – (2·4) = 28, 28 : 7 = 4

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 число его десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно 13.

845 делится на 13, т.к. 84 + (4 ·5) = 104, 104 : 13 = 8

на 17 число

его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.
29 053 делится на 17, т.к.
2905 + (3·12) = 2941;
294 + (1·12) = 306;
30 + (6·12) = 102;
10 + (2·12) = 34, 34 : 17 = 2

2 способ. Число делится на 17 разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратна 17.

32 952 не делится на 17, т.к.
3295 – (2·5) = 3285,
328 – ( 5·5) = 328 – 25 = 303,
30 – (3·5) = 15, 15 не делится на 17.

число его десятков, сложенное с удвоенным

числом единиц, кратно 19.
646 делится на 19, т.к. 64 + (2·6) = 76, 76 : 19 = 4
Признак делимости на 23.
Число делится на 23 число его сотен, сложенное с утроенным числом единиц, кратно 23.

28 842 делится на 23, т.к. 288 + (3· 42) = 414;
4 + (3·14) = 46, 46 : 23 = 2

сумма цифр с чередующимися

знаками делится на 11.

271 436 делится на 11, т.к. 6-3+4-1+7-2 =11, 11:11=1

Признак делимости на 99.
Разобьем число на группы по 2 цифры справа
налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп. Эта сумма делится на 99 само число делится на 99.

56 732 544 делится на 99, т.к. 56+73+25+44 = 198, 198 : 99 = 2

2 цифры справа
налево (в самой левой группе

может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками. Эта сумма делится
на 101 само число делится на 101.

590 547 делится на 101, т.к. 59 – 05 + 47 = 101, 101 :101 =1

Число делится на 6
оно делится

и на 2, и на 3. (456)

Признак делимости на 12. Число делится на 12
оно делится и на 3, и на 4. (589 524)

Признак делимости на 14. Число делится на 14
оно делится и на 2, и на 7. (364)

Признак делимости на 15. Число делится на 15
оно делится и на 3, и на 5. (8 445)

за внимание!