Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Производная
Содержание
- 1. Производная
- 2. Происхождение производной. В
- 3. Исаак Ньютон (1643 – 1727)Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)
- 4. Происхождение производной. Ряд
- 5. Памятник Ньютону в Кэмбридже.
- 6. Ньютон пришел
- 7. В подходе Лейбница к математическому анализу
- 8. Памятник Лейбницу в Лейпциге.
- 9. По мере развития
- 10. Работы Лейбница по математике многочисленны
- 11. В1672 году Лейбниц изобретает собственную
- 12. Производной функции у
- 13. Понятие производнойх0х0+ ∆хf(x0)f(x0 + ∆х)∆хху0∆fу = f(x)
- 14. Зафиксировать значение х0, найти f(x0).Дать аргументу х0
- 15. Примеры 1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo
- 16. Примеры 2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo
- 17. Примеры 3. Найти производную функции y = x2 в точке хo
- 18. Нахождение производной называют дифференцированием
- 19. Таблица производных
- 20. Правила нахождения производной1. Если функции u(x) и
- 21. Правила нахождения производной3. Если функции u(x) и
- 22. Правила нахождения производной5. Если функции u(x) и
- 23. “При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила” “Примеры учат больше, чем теория”.И. НьютонМ. Ломоносов
- 24. Примеры
- 25. Примеры
- 26. подсказкаТело, подброшенное вверх движется по закону s(t)
- 27. ЗАДАЧА №2 При
- 28. Примеры
- 29. Слайд 29
- 30. Производнаяи ее применение
- 31. Правильный ответПравильный ответПравильный ответПравильный ответПравильный ответНайдите производные функций:
- 32. Найдите производную функции(устно):а) у = 6х5 –
- 33. Найдите производную функции(устно): Правильный ответПравильный ответПравильный ответПравильный ответ
- 34. Слайд 34
- 35. 3.4.5.
- 36. k = f ′(xo) = tg α
- 37. Общий вид уравнения касательнойy = f ′(xo)(x
- 38. Одна из основных задач исследования функции –
- 39. Алгоритм решения неравенств методом интервалов:Выделить функцию y=f(x).Найти
- 40. Решите неравенство:1.
- 41. Алгоритм нахождения промежутков возрастания (убывания) функции y=f(x):Найти
- 42. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:1. 2. f´(x)=0, если 3.Ответ:
- 43. f′(x)xoМинимум функцииТочка хо называется точкой минимума функции
- 44. xoМаксимум функцииТочка хо называется точкой максимума функции
- 45. Алгоритм исследованияфункции на монотонность1о Дифференцируем функцию:
- 46. Алгоритм исследованияфункции на экстремумы1о Дифференцируем функцию:
- 47. Примеры
- 48. Слайд 48
- 49. +++––
- 50. Спасибо за внимание!
- 51. Скачать презентанцию
Происхождение производной. В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники –
Слайды и текст этой презентации
Слайд 4Происхождение производной.
Ряд задач дифференциального исчисления
был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у
Евклида и у Архимеда, однако основное понятие – понятие производной функции – возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон. Он пришел к формуле :
Слайд 6 Ньютон пришел к понятию производной,
исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он
изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов». Написана работа была в 60-е годы 17 века, однако опубликована после смерти Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы своевременно знакомить математическую общественность со своими работами.Флюксией называлась производная функции – флюэнты.
Флюэнтой таже в дальнейшем называлась первообразная функция.
Слайд 7В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц
мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. Он
шел к своему открытию от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов.В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.
Слайд 9 По мере развития анализа выяснилось, что
символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения
многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно.
Слайд 10 Работы Лейбница по математике многочисленны и разнообразны.
В 1666 году он написал первое сочинение: «О комбинаторном искусстве».
Сейчас комбинаторика и теория вероятности одна из обязательных тем математики в школе.
Слайд 11 В1672 году Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо
лучше паскалевской — он умел выполнять умножение, деление и извлечение
корней. Предложенные им ступенчатый валик и подвижная каретка легли в основу всех последующих арифмометров.Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.
Слайд 12 Производной функции у = f(x), заданной
на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого
интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Слайд 14Зафиксировать значение х0, найти f(x0).
Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти
в новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 +
∆х).Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
Составить отношение .
Вычислить lim .
Этот предел и есть f ′(x0).
Алгоритм нахождения производной
Слайд 20Правила нахождения производной
1. Если функции u(x) и v(x) имеют в
точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также
имеет в этой точке производную, причем(u + v)′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем
(Сu)′ = С∙u′
Слайд 21Правила нахождения производной
3. Если функции u(x) и v(x) имеют в
точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также
имеет в этой точке производную, причем(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем
Слайд 22Правила нахождения производной
5. Если функции u(x) и v(x) имеют в
точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция
также имеет в этой точке производную, причем6.Производная сложной функции
(f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x)
Слайд 23“При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила”
“Примеры
учат больше, чем теория”.
И. Ньютон
М. Ломоносов
Слайд 26подсказка
Тело, подброшенное вверх движется по закону
s(t) = 4+
8t – 5t 2 . Найдите:
1) Скорость тела в начальный
момент времени;2) Наибольшую высоту подъёма тела.
РЕШЕНИЕ.
2) t= 0, v(0) = s`(0) = 8 м/с – скорость
тела в начальный момент времени
1) v (t) = s` (t) = 8 – 10t - скорость тела;
3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная высота броска тела.
Ответ: 8 м/с ; 7,2 м .
ЗАДАЧА №1
Слайд 31Правильный
ответ
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Найдите производные функций:
Слайд 32Найдите производную функции(устно):
а) у = 6х5 – 7х3 + 2х2
– 5,
у/ = 30 х4 – 21х2 + 4х
,б) у = (4 – 5х)7,
у/ = 7·(– 5)·(4 – 5х)6 = – 35·(4 – 5х)6
в) у = 8 + 3cosх,
у/ = 8 – 3sinх
г) у = 4sinх – 6 lnx,
у/ = 4 cos х – 6/х
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Слайд 33Найдите производную функции(устно):
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Правильный
ответ
Слайд 36k = f ′(xo) = tg α –
это угловой
коэффициент касательной.
f(xo)
Касательная
к графику дифференцируемой в точке х0 функции f
– это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(хо).х
у
хо
y = kx + b
α
y = f(x)
0
Слайд 37Общий вид уравнения касательной
y = f ′(xo)(x – xo) +
f(xo)
Алгоритм составления уравнения касательной
1о Находим значение функции в точке хо:
f(xo).2о Дифференцируем функцию: f′(x).
3о Находим значение производной в точке хо: f′(xo).
4о Подставляем эти данные в общее уравнения
касательной: y = f′(xo)(x – xo) + f(xo).
Слайд 38Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков
её возрастания и убывания.
Признак возрастания функции:
Если f´(x)>0 в каждой точке
интервала I, то функция f возрастает на I.Признак убывания функции:
Если f´(x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Слайд 39Алгоритм решения неравенств методом интервалов:
Выделить функцию y=f(x).
Найти область определения функции
D(f). Указать промежутки непрерывности.
Найти нули функции, решив уравнение f(x)=0.
Определить знак
функции между её нулями в области определения.
Слайд 41Алгоритм нахождения промежутков возрастания (убывания) функции y=f(x):
Найти производную функции f´(x).
Решить уравнение f´ (x) =0.
Найти знак производной на каждом интервале.
Согласно
признаку возрастания (убывания) функции, найти промежутки возрастания и убывания.
Слайд 43f′(x)
xo
Минимум функции
Точка хо называется точкой минимума функции f(x), если существует
такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо
из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(xo).Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+», то хо – точка локального минимума функции f(x).
f(x)
–
+
x
min
f(xо) – минимум функции
Слайд 44xo
Максимум функции
Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если существует
такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо
из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(xo).Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то хо – точка локального максимума функции f(x).
f′(x)
f(x)
+
–
x
max
f(xо) – максимум функции
Слайд 45Алгоритм исследования
функции на монотонность
1о Дифференцируем функцию: f′(x).
2о
Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
3о Решаем неравенства:
f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме:
5o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х1]; [x2; x3].
б) Промежутки убывания: [x1; x2]; [x3; + ∞).
f′(x)
x2
f(x)
–
+
x
+
–
x1
x3
Слайд 46Алгоритм исследования
функции на экстремумы
1о Дифференцируем функцию: f′(x).
2о
Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
3о Решаем неравенства:
f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме:
5o a) х1; x3 – точки максимума; x2 – точка минимума.
б) f(x1); f(x3) – максимумы функции;
f(x2) – минимум функции.
f′(x)
x2
f(x)
–
+
x
+
–
x1
x3
