Работа с таблично заданными функциями. Интерполяция и экстраполяция

функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на

отрезке [a,b].

Точечной
Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi}, называется точечной.

строить таким образом, чтобы ее значения в точках { xi

, i=0,1,….n} совпадали с табличными значениями заданной функции f(x):
. (1)

Такой способ введения аппроксимирующей функции называют лагранжевой интерполяцией, а условия (1) – условиями Лагранжа.

Постановка задачи интерполяции

узлов, строят один полином степени n.
Локальной
(многоинтервальной) -
если интервал интерполяции

[x0, xn], разбивают на меньшие отрезки, содержащие два или более узлов, и на каждом из отрезков строят свой (локальный) интерполяционный полином соответствующей степени.

являющуюся графиком степенного многочлена (полинома) степени n, причем такой полином

единственный.
Полином в каноническом виде.

Коэффициенты полинома определяются из условий Лагранжа, что приводит к системе уравнений:

узлов xi нет совпадающих :

vy, векторая, содержащие исходные данные
х - независимая переменная.

представляется полиномом некоторой степени, и на всем отрезке интерполяции непрерывна

вместе с несколькими своими производными.

На практике широкое применение получили сплайны третьей степени (кубические сплайны).

сшивания соседних сплайнов в узловых точках:
1) равенство значений сплайнов и

аппроксимируемой функции в узлах – условия Лагранжа.
2) непрерывность первой и второй производной сплайнов в узлах.
3) Недостающие два соотношения получаются из условий закрепления концов сплайна.

с узловыми точками, форма, которую примет в этом случае линейка

между соседними узлами будет совпадать с графиком кубического сплайна. С физической точки зрения линейка принимает форму, при которой оказывается минимальной её потенциальная энергия, при этом форма линейки будет описываться однородным ОДУ 4-го порядка, т.е. между каждой парой соседних узлов функция является полиномом степени не выше третьей. Вне узловых точек, где линейка свободна, она описывается уравнением прямой. Если к свободным концам линейки подвесить небольшие грузы, то линейка деформируется и ее поведение вне узловых точек может быть описано, например, уравнением параболы.

cspline(vx, vy)
функции, возвращающие коэффициенты сплайнов;
interp(vs,

vx, vy, x)
– функция, возвращающая значение сплайна в точке x по исходным векторам vx и vy и по коэффициентам сплайна vs.

Функции lspline, pspline и cspline отличаются граничными условиями, определяющими поведения сплайнов вне интервала интерполяции.

прямой линии в граничных точках;
pspline генерирует кривую сплайна, которая

приближается к параболе в граничных точках.
cspline генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.

функции двух переменных. Эти функции имеют тот же вид ,что

и для интерполяции функции одной переменной, только в качестве аргументов им передаются не вектора, а матрицы.

распределение данных вдоль всего интервала:
predict (у,m,n)
— функция для

вектора предсказания, экстраполирующего выборку данных.
Аргументы функции:
у — вектор действительных значений, взятых через равные промежутки значений аргумента;
m — количество последовательных элементов вектора у, согласно которым строится экстраполяция;
n— количество элементов вектора предсказаний.

Значений аргумента для данных не требуется, поскольку по определению функция действует на данные, идущие друг за другом с равномерным шагом.

действует на данные, идущие друг за другом с равномерным шагом.