РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Общие понятия Метод

общих энергетических соотношениях для упругих систем.
За неизвестные метода перемещений принимаются

Под узлом понимаем два или более стержней, сходящихся в одной точке и соединенных припайками (жестко).
Концы стержней, сходящихся в узле, не могут поворачиваться относительно друг друга (рис.1).

сил на деформации стержня можно пренебречь, так как это

2. Деформации стержней возникают в основном от изгиба.
Пренебрегаем сближением концов стержней, возникающим при изгибе (расчет производится по недеформированной схеме).

3. Ввиду малости углов поворота сечений, считаем их равными тангенсам соответствующих углов.

В рассматриваемом варианте метод перемещений применим для расчетов рам и статически неопределимых балок.
Возможна модификация этого метода для шарнирно-стержневых систем, т.е. ферм.

узлов в системе, определяющих деформированный вид системы:
где nу – число

nл – число независимых линейных смещений узлов, определяемое при замене заданной системы шарнирно-стержневой моделью.

Пример

Найдем степень кинематической неопределимости для рам, изображенных па рис. 2а, 3в, 4д.

вышеперечисленных рам (рис. 2а, 3в, 4д) соответственно равно: nу =

Число независимых линейных смещений узлов устанавливаем по шарнирно-стержневым системам (рис. 2б, 3г, 4е), соответственно равными: nл = 1, nл = 2, nл = 0.

Для тех же рам подсчитаем степень статической неопределимости. Получим соответственно: nst = 3, nst = 1, nst = 9.

Тогда на основании формулы определения степени кинематической неопределимости для рамы, приведенной на рис. 2,а, равна: n = 2+1 = 3. Для рамы (рис. 3,в): n = 2+2 = 4 . Для рамы (рис. 4,д): n = 1+0 = 1.

Подсчеты степеней статической и кинематической неопределимости позволяют выбрать наиболее удобный метод расчета рам, а именно:
для рамы (рис. 3,в) предпочтительней метод сил;
для рамы (рис. 4,д) – метод перемещений;
для рамы (рис. 2,а) оба метода одинаково трудоемки.

дополнительные связи, препятствующие линейным и угловым смещениям узлов.
При этом рама

В узлах эти отдельные балки соприкасаются.

Для предотвращения поворота узла на него накладываем плавающую заделку, которая не может поворачиваться, но может линейно смещаться (рис. 5).

Связь, препятствующую линейному смещению, изобразим в виде опорного стержня (рис. 6).

3, 4.
Эквивалентная система метода перемещений
Чтобы устранить отличия основной системы от

Положительными будем считать повороты узлов по часовой стрелке.

Линейные смещения положительны вдоль соответствующих направлений координатных осей.

и получим эквивалентную систему.
При этом возникают реактивные моменты в

Реактивные моменты и силы можно обратить в нуль, повернув заделки на углы, равные действительным поворотам узлов заданной системы, и сместив узлы так, чтобы перемещения равнялись действительным перемещениям в заданной системе.

На рис. 8 показаны эквивалентные системы для рам (рис. 2а, 3в, 4д).

вариантов основной и эквивалентной систем, в методе перемещений основная и

Канонические уравнения метода перемещений

В основе канонических уравнений метода перемещений лежит отрицание реактивных моментов в плавающих заделках и реактивных сил в дополнительных связях R1, R2 , …, Rn , количество которых соответствует степени кинематической неопределимости n.

На основании принципа независимости действия сил запишем условие эквивалентности:

R11 – реакция в 1-ой наложенной связи, вызванная смещением 1-ой связи;

R1i – реакция в 1-ой наложенной связи, вызванная смещением i-й связи;

R1F – реакция в первой дополнительной связи от внешних нагрузок.

Rn получим:
Далее представляем:
где Rji – реакция в связи j от

rji – реакция в связи j от единичного смещения связи i;

Zi – смещение i-й введенной связи.

уравнений метода перемещений:
В матричной форме:
Матрица жесткости составлена из реакций во

симметрична относительно главной диагонали.
Вектор перемещений запишем в транспонированном виде:
Вектор