Слайд 1Решение задач на алгебру логики
Слайд 2Задача 1
В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка
- Антипов (А), Борисов (В), Цветков (С) и Дмитриев
(D). Известно, что:
1) Если А нарушил, то и В нарушил правила обмена валюты.
2) Если В нарушил, то и С нарушил или А не нарушал.
3) Если D не нарушил, то А нарушил, а С не нарушал.
4) Если D нарушил, то и А нарушил.
Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?
Слайд 3Решение:
Чтобы решить эту задачу, необходимо провести процесс формализации условия, сформировать
единое логическое выражение и провести его упрощение. Выделим из условия
четыре простых высказывания: «A нарушил правила», «B нарушил правила», «C нарушил правила», и «D нарушил правила». Обозначим их соответственно буквами A, B, C, D. Тогда высказывания из условия формализуются следующим образом (конъюнкция не обозначается никак):
Слайд 41) A→B;
2) B→C \/ ¬A;
3) ¬D→A¬C;
4) D→A.
Слайд 5Нам известно, что выполняются все 4 высказывания, следовательно, нужно объединить
их знаками конъюнкции и найти наборы, при которых получившееся общее
высказывание будет истинным. Эти наборы и покажут нам, какие возможны ситуации (правила обмена нарушил тот, у кого переменная в итоговом наборе имеет значение «1»).
Слайд 6Итак, строим логическое выражение:
(A→B)(B→C\/A)(¬D→ A¬C)(D→A).
Слайд 7Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от
операции импликации. Получаем следующее выражение:
(¬A\/B)(¬B\/C\/¬A)(D\/A¬C)(¬D\/A).
Слайд 8Раскрываем скобки. Первую перемножаем со второй, а третью с четвёртой.
(¬A¬B \/ ¬AC \/ ¬A \/ BC \/ B¬A)(DA \/ A¬C¬D \/ A¬C).
Слайд 9Напомним, что слагаемые, равные нулю по причине того, что в
них входит сразу и переменная и её отрицание, мы не
записываем. В первой скобке теперь можно применить тождество поглощения, и «съесть» все слагаемые, имеющие в своём составе A с отрицанием. Во второй скобке можно также применить тождество поглощения, и «съесть» второе слагаемое.
Слайд 10В итоге получаем:
(¬A \/ BC)(DA \/ A¬C).
Слайд 11При раскрытии оставшихся скобок три из четырёх слагаемых окажутся равными
нулю, а последнее будет выглядеть следующим образом: ABCD. Из этого
следует, что все четверо работников банка нарушили правило обмена валюты. (Только в этой ситуации предположения из условия задачи одновременно выполняются).
Слайд 12Ответ:
Правила обмена валюты нарушили все.
