Слайд 1Симплекс
Симплексное планирование
Слайд 2Симплексное планирование
Симплекс в n- мерном пространстве представляет собой простейшую
n- мерную замкнутую геометрическую фигуру, образованную n+1 вершинами, которые соединены
между собой прямыми линиями.
Координаты вершин симплекса являются значениями факторов в отдельных опытах.
В двухфакторном пространстве (n=2) симплекс представляет собой треугольник в плоскости х1ох2, в трехфакторном – тетраэдр и т.д.
Слайд 3Симплекс
В двухфакторном пространстве В трёхфакторном пространстве
Слайд 4Регулярный симплекс
Основное свойство симплекса - отбрасывание одной из его
вершин и построение новой вершины, лежащей по другую сторону противолежащей
грани, получают новый симплекс.
При поиске оптимума отбрасывают ту вершину симплекса, которой соответствует наихудшее значение выхода объекта.
Слайд 5Поиск оптимума для нерегулярного симплекса
Новая вершина симплекса, получаемая отражением наихудшей
относительно противолежащей грани, располагается на прямой, соединяющей отбрасываемую вершину с
центром тяжести остальных вершин.
Слайд 6Графическая интерпретация поиска оптимума в несколько шагов.
Слайд 7Критерии окончания поиска
Разность значений выхода объекта в вершинах симплекса
становится меньше заранее заданного числа. Отражение любой из вершин симплекса
после однократной постановки опыта приводит к его возврату в прежнее положение.
Циклическое движение симплекса вокруг одной из его вершин на протяжении более чем М шагов, причем M=1,65n+0,5n2, М округляется до ближайшего целого числа.
Слайд 8Использование симплекс-матрицы
При использовании симплексного планирования координаты вершины симплексов записывают в
виде таблицы, являющейся матрицей планирования эксперимента или планирования расчетов с
целью поиска оптимума.
При построении матрицы планирования эксперимента (координат вершины симплекса), координатами n- мерного пространства служат факторы – хj, где j=1….n. Вершины симплекса служат номерами опытов.
Слайд 9Матрица планирования
Способ составления матрицы симплексного планирования зависит от выбора расположения
симплекса относительно начала системы координат. Для удобства выберем, чтобы центр
симплекса находился в начале координат. Хотя выбор размеров симплекса и его начального положения до известной степени произволен. В общем случае исходная матрица симплексного планирования поиска оптимума будет иметь следующий вид ниже:
Слайд 11Расположение равномерного симплекса для построения симплекс-матрицы
Матрица эксперимента
Для вершины «1»
координаты
r1 и r2
«2» координаты –R1 и r2
«3» координаты 0
и –R2
1
2
3
Слайд 12Матрица эксперимента
Уровни факторов в данном случае кодированы и находятся
из соотношений и является номером фактора или номером координаты n-
мерного пространства
Слайд 13Матрица симплексного планирования для 5 факторов
Слайд 14Расчет новых уровней факторов
Уровни факторов в матрице выше кодированы
от –1 до 1. Для проведения опытов необходимо кодированные уровни
факторов превратить в натуральные значения. Для этого задаются исходные уровни факторов в натуральных единицах и интервалы варьирования .
формула перевода
Слайд 15Проведение эксперимента
После составления исходной матрицы выполняются все опыты с уровнем
факторов записанных в ней. В результате получают значения у в
каждом опыте:
у1, у2, ….у6 – это параметры оптимизации
На основе анализа выбирают «наихудшее» значение у и его записывают уi*. Допустим, что в примере у1 является худшим значением, т.е. у1*. В этом случае первая строчка в матрице зачеркивается и ее значения отбрасываются. После этого производится расчет новых уровней факторов в первом опыте следующим образом:
Слайд 16Пример
Симплексным методом оптимизировать состав серого чугуна.
В качестве исходного состава
выбрать C3,8%, Si2%, Mn0,6%,
Интервал варьирования их содержания принять: C0,4%,
Si0,3%, Mn0,3%.
Слайд 17Перевод кодированных уровней факторов в натуральные единицы
Слайд 19Расчет нового уровня фактора
Предположим, что худшее значение у наблюдается в
первом опыте. Исключаем первый опыт и рассчитываем новые уровни факторов:
Слайд 20Планирование экспериментов на диаграммах «Состав-свойства»
Слайд 21Область концентраций задается в виде симплекса
В этом случае состав многокомпонентного
сплава задается с помощью симплекса, с q вершинами в (q-1)
мерном пространстве. Каждой из вершин симплекса соответствует состав сплава в нормированном виде, где содержание одного компонента максимально, а остальных минимально.
Слайд 22Диаграмма «состав-свойство»
двухкомпонентный сплав
(диаграмма одномерного симплекса).
трёхкомпонентный сплав
(диаграмма двумерного
симплекса).
Слайд 23Координатные оси и линии симплекса
Слайд 24Построение диаграммы линий уровня
При планировании эксперимента на диаграммах «состав-свойства» задачи
формулируются обычно как задачи описания, т. е. получение некоторых математических
уравнений зависимости свойств сплавов от концентраций исходных компонентов.
Здесь степенные ряды Тейлора практически никогда не используются из за зависимости одной из переменных.
Слайд 25Использование канонической формы полинома
Если рассматривать q-1 переменную симплекса, как систему
независимых переменных, а содержание последнего q-го компонента определять, как остаток
от общей суммы, модель в форме полинома Тейлора может быть построена, но эта модель будет содержать лишь q-1 переменную.
Слайд 26Однородные полиномы
Это полиномы, получаемые из исходного ряда Тейлора домножением его
членов степени s
Слайд 28Решетчатые планы для
четырёх компонентных сплавов
Слайд 29Симплексные планы
Симплекс-центроидные q=3
D-оптимальные планы для
q = 3 и
n = 3 и 4
Слайд 31Матрицы планов третьего и четвертого порядков
Слайд 32Ненасыщенные планы
Число экспериментальных точек в них равно числу искомых коэффициентов
модели, т.е. ошибки эксперимента однозначно переходят в ошибки поверхности отклика
(ошибки модели).
Для снижения ошибок аппроксимации проводятся повторные опыты в каждой точке плана и расчет коэффициентов модели проводят по соответствующим усредненным значениям.
Коэффициенты моделей могут вычисляться по общим формулам регрессионного анализа, например в матричной форме, с помощью
В=(Х*Х)-1Х*Y
Могут использоваться и достаточно простые расчетные соотношения, позволяющие производить необходимые расчеты, при насыщенности плана.
Слайд 33Пример
Из записанных ранее таблиц можно определить расчетные формулы для
оценки коэффициентов второго порядка.
Слайд 34Следует учесть
суммарное число цифр в индексе соответствует числу частей, на
которое разбивается основание симплекса используемой симплексной решеткой;
отсутствие той или иной
цифры в индексе указывает на то, что соответствующий компонент введется в сплав в минимальном количестве, соответствующем коду 0;
число повторений цифры в индексе характеризует относительное содержание данного элемента в сплаве (относительно суммарного числа цифр в индексе).
Например, индекс 1112 для случая исследования трехкомпонентного сплава означает, что рассматривается состав, содержащий минимальное количество третьего компонента (х3 = 0) и первый и второй компоненты в количествах, соответствующих кодам х1 = 3/4 и х2 = 1/4.
Слайд 36Мера оценки пригодности модели
r – число повторных опытов в
точках плана.
– численная характеристика, заданная на специальных диаграммах.
Sy –
средняя квадратичная ошибка эксперимента
Уровень значимости критерия Стьюдента зависит от:
f = N(2 – 1) и /k – доверительная вероятность (k – количество проверяемых точек).
Слайд 37МСС-план
Это планы, минимизирующие систематическое смещение.
С точки зрения статистических свойств и,
в частности, с позиций D-оптимальности все линейные МСС-планы, приведенные ниже,
по существу, равноценны, и для практического использования может быть рекомендован, например, план с минимальным числом точек.
Слайд 38Экспериментальные точки МСС-планов
Q=3
n=1 (а)
n=2 (б)
Слайд 39Статистические характеристики плана
Слайд 41Общий случай расположения области
Слайд 42Пример плана для 1420
Исследовали механические свойства сплавов системы А1—Li—Mg—Zr в
зависимости от содержания в них лития и магния при постоянном
содержании циркония (Zr = 0,13%) [25] для области коцентраций, задаваемых пределами: Li = 6,0 и 18,0 ат. % , Mg =1,0—13,0 ат. % (x= 100%).
Слайд 46Выводы:
После проверки адекватности модели установлено.
Характер изменения твердости в закаленном и
закаленном и состаренном состояниях примерно одинаков, однако полной аналогии здесь
не наблюдается: поверхность для НВ(з) является более монотонной и симметричной, чем для НВ (з+c).
В результате поверхность ΔНВ, характеризующая эффект упрочнения при старении, оказывается достаточно сложной, и на поле исследованной области выделяются три отдельные области с максимальным эффектом упрочнения. Две из этих областей расположены в углах с максимальным содержанием соответственно лития и магния; третья — находится в области минимального содержания Mg и некоторого «среднего» содержания Li.
Слайд 47Рекомендации по корректировке состава сплава
Направления корректировки состава сплава 01420 обозначены
векторами АВ, АС и АД, и выделенные составы соответствуют точкам
А', А", А'".
