Двоичная система счисления
§ 12. Восьмеричная система счисления
§ 13. Шестнадцатеричная система
счисления§ 14. Другие системы счисления
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Системы счисления
Содержание
- 1. Системы счисления
- 2. Системы счисления§ 9. Системы счисления
- 3. Что такое система счисления?Система счисления — это
- 4. Египетская десятичная система– 1– 10– 100– 1000– 10000– 100000– 1000000чертахомутверёвкалотоспалецлягушкачеловек= ?=12352014 = ?
- 5. Непозиционные системы счисленияНепозиционная система счисления: значение цифры
- 6. Римская система счисленияI – 1 (палец),
- 7. Римская система счисленияПравила:(обычно) не ставят больше трех
- 8. Римская система счисленияMCDLXVII =MMDCXLIV =MMMCCLXXII =CMXXVIII =
- 9. Римская система счисления3768 =2983 =1452 =1999 =
- 10. Римская система счислениятолько натуральные числа (дробные? отрицательные?)для записи больших чисел нужно вводить новые цифрысложно выполнять вычисления
- 11. Славянская система счисленияалфавитная система счисления (непозиционная)Часы Суздальского Кремля
- 12. Системы счисления§ 10. Позиционные системы счисления
- 13. ОпределенияПозиционная система: значение цифры определяется ее позицией
- 14. Формы записи чисел6 3 7 53
- 15. Перевод в десятичную системуa3a2a1a0 = a3p 3
- 16. Перевод из десятичной в любую194 = 12345
- 17. Перевод из десятичной в любую194194 = 1234510
- 18. в записи есть цифра 6, поэтому X
- 19. в записи есть цифра 5, поэтому X
- 20. ЗадачиЗадача: найдите все основания систем счисления, в
- 21. ЗадачиЗадача: найдите все десятичные числа, не
- 22. ЗадачиЗадача: Все 5-буквенные слова, составленные из букв
- 23. Дробные числа0,6375 = 6·0,1 + 3·0,01 +
- 24. Дробные числа: из десятичной в любую0,12345 =
- 25. Дробные числа: из десятичной в любую10 50,93760,9376 = 0,4321510 50,3
- 26. Дробные числа: из десятичной в любую10 625,375= 25 + 0,375
- 27. Системы счисления§ 11. Двоичная система счисления
- 28. Двоичная системаОснование (количество цифр): 2Алфавит: 0, 110
- 29. Метод подбора10 277 = 64 +777764Разложение
- 30. Перевод из двоичной в десятичную10011012 = 26
- 31. Арифметические операциисложениевычитание0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1021 + 1 +
- 32. Арифметические операции
- 33. Арифметические операции
- 34. Арифметические операцииумножениеделение 1 0 1 0
- 35. Дробные числа10 20,81250,8125 = 0,1101210 20,6 = 0,100110011001… = 0,(1001)2
- 36. Дробные числаБольшинство дробных чисел хранится в памяти
- 37. Двоичная система счислениядлинная запись чисел: 1024 =
- 38. Системы счисления§ 12. Восьмеричная система счисления
- 39. Восьмеричная система счисленияОснование: 8Алфавит: 0, 1, 2,
- 40. Примеры134 =75 =1348 =758 =
- 41. Восьмеричная система счисления
- 42. Перевод в двоичную систему счисления8102трудоёмко2 действия8 =
- 43. Примеры34678 =21488 =73528 =12318 =
- 44. Перевод из двоичной в восьмеричную10010111011112Шаг 1. Разбить
- 45. Примеры1011010100102 =111111010112 =11010110102 =
- 46. Арифметические операциисложение1 5 68 + 6
- 47. Примеры
- 48. Арифметические операциивычитание4 5 68 – 2
- 49. Примеры
- 50. Системы счисления§ 13. Шестнадцатеричная система счисления
- 51. 11Шестнадцатеричная система счисленияОснование: 16Алфавит: 0, 1, 2,
- 52. Примеры171 =206 =1C516 =22B16 =
- 53. Шестнадцатеричная система счисления
- 54. Перевод в двоичную систему16102трудоёмко2 действия16 = 247F1A16
- 55. ПримерыC73B16 =2FE116 =
- 56. Перевод из двоичной системыШаг 1. Разбить на
- 57. Примеры10101011010101102 =1111001101111101012 =1101101101011111102 =
- 58. Перевод в восьмеричную и обратнотрудоёмко3DEA16 = 11
- 59. ПримерыA3516 =7658 =
- 60. Арифметические операциисложениеA 5 B16+ C 7
- 61. ПримерыС В А16+ A 5 916F D В16+ A B C16
- 62. Арифметические операциивычитаниеС 5 B16– A 7
- 63. Примеры1 В А16– A 5 916
- 64. Системы счисления§ 14. Другие системы счисления
- 65. Задача Баше о наборе гирь+ 1 гиря на
- 66. Троичная уравновешенная системаЭВМ «Сетунь» (1958) , Н.П.
- 67. Двоично-десятичная система (ДДС)Десятичные цифры, закодированные в двоичном
- 68. Скачать презентанцию
Системы счисления§ 9. Системы счисления
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Системы счисления
§ 9. Системы счисления
§ 10. Позиционные системы счисления
§ 11.
Двоичная система счисления
счисления§ 14. Другие системы счисления
Слайд 3Что такое система счисления?
Система счисления — это правила записи чисел
с помощью специальных знаков — цифр, а также соответствующие правила
выполнения операций с этими числами.Счёт на пальцах:
Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)
только натуральные числа
запись больших чисел – длинная (1 000 000?)
Слайд 4Египетская десятичная система
– 1
– 10
– 100
– 1000
– 10000
– 100000
– 1000000
черта
хомут
верёвка
лотос
палец
лягушка
человек
=
?
=1235
2014 = ?
Слайд 5Непозиционные системы счисления
Непозиционная система счисления: значение цифры не зависит от
её места в записи числа.
унарная
египетская десятичная
римская
славянская
и другие…
«Пираты XX века»
Слайд 6Римская система счисления
I – 1 (палец),
V – 5
(раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)
Спасская башня Московского Кремля
Слайд 7Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех
одинаковых цифр подряд
если
младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается
из суммы (частично непозиционная!)Примеры:
MDCXLIV =
1000
+ 500
+ 100
– 10
+ 50
– 1
+ 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M
CCC
LXXX
IX
= 1644
Слайд 10Римская система счисления
только натуральные числа (дробные? отрицательные?)
для записи больших чисел
нужно вводить новые цифры
сложно выполнять вычисления
Слайд 11Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы Суздальского Кремля
Слайд 13Определения
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Алфавит
системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы
счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.
Слайд 14Формы записи чисел
6 3 7 5
3 2 1
0
разряды
5
70
300
= 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100
6000
развёрнутая форма
записи числаСхема Горнера:
6 3 7 5 = ((610 + 3)10 + 7)10 + 5
для вычислений не нужно использовать возведение в степень
удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой
Слайд 15Перевод в десятичную систему
a3a2a1a0 = a3p 3 + a2p 2
+ a1p 1 + a0p 0
Через развёрнутую запись:
Через схему Горнера:
12345
= 153 + 252 + 351 + 450 = 194=1
разряды: 3 2 1 0
разряды: 3 2 1 0
a3a2a1a0 = ((a3p + a2)p + a1)p + a0
12345 = ((15 + 2)5 + 3)5 + 4 = 194
основание системы счисления
Слайд 16Перевод из десятичной в любую
194 = 12345 = ((15 +
2)5 + 3)5 + 4
делится на 5
остаток от деления на
5a3a2a1a0 = ((a3p + a2)p + a1)p + a0
остаток от деления на p
a3a2a1 = (a3p + a2)p + a1
частное от деления на p
Слайд 17Перевод из десятичной в любую
194
194 = 12345
10 5
Делим число
на p, отбрасывая остаток
на каждом шаге, пока не получится 0.
Затем надо выписать найденные остатки в обратном порядке.
Слайд 18в записи есть цифра 6, поэтому X > 6
переводим правую
часть в десятичную систему
решаем уравнение
Задачи
Задача: в некоторой системе счисления число
71 записывается как «56x»? Определите основание системы счисления X.71 = 56X
1 0
56x
= 5·X1 + 6·X0
= 5·X + 6
71 = 5·X + 6
X = 13
Слайд 19в записи есть цифра 5, поэтому X > 5
переводим правую
часть в десятичную систему
решаем уравнение
Задачи
Задача: в некоторой системе счисления число
71 записывается как «155x»? Определите основание системы счисления X.71 = 155X
2 1 0
155x
= 1·X2 + 5·X1 + 5·X0
= X2 + 5·X + 5
71 = X2 + 5·X + 5
X = 6
X = -11
Слайд 20Задачи
Задача: найдите все основания систем счисления, в которых запись десятичного
числа 24 оканчивается на 3.
24 = k·X + 3
21 =
k·XX = 3, 7, 21
Слайд 21Задачи
Задача: найдите все десятичные числа,
не превосходящие 40, запись которых
в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11.
N =
k·42 + 1·4 + 1 = k·16 + 5При k =0, 1, 2, 3, … получаем
N = 5, 21, 37, 53, …
Слайд 22Задачи
Задача: Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О и
У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3.
ААААУ4. АААОА
5. …
Найдите слово, которое стоит на 140-м месте от начала списка.
1. 00000
2. 00001
3. 00002
4. 00010
5. …
в троичной системе!
на 1-м месте: 0
на 140-м месте: 139
139 = 120113
Слайд 23Дробные числа
0,6375 = 6·0,1 + 3·0,01 + 7·0,001 + 5·0,0001
0,
6 3 7 5 = 6·10-1 + 3·10-2 + 7·10-3
+ 5·10-4Развёрнутая форма записи:
разряды: -1 -2 -3 -4
Схема Горнера:
0, 6375 = 10-1·(6 + 10-1·(3 + 10-1·(7 + 10-1·5)))
0, 1 2 3 45 = 1·5-1 + 2·5-2 + 3·5-3 + 4·5-4
0,12345 = 5-1·(1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4)))
перевод в десятичную систему
перевод в десятичную систему
Слайд 24Дробные числа: из десятичной в любую
0,12345 = 5-1·(1 + 5-1·(2
+ 5-1·(3 + 5-1·4)))
5·(0,12345)= 1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 +
5-1·4))целая часть
дробная часть
0,a1a2a3a4 = p-1(a1 + p-1(a2 + p-1(a1 + p-1 a0)))
p(0,a1a2a3a4) = a1 + p-1(a2 + p-1(a1 + p-1 a0))
Слайд 28Двоичная система
Основание (количество цифр): 2
Алфавит: 0, 1
10 2
2
10
19
19 = 100112
система счисления
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 +
0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20= 16 + 2 + 1 = 19
Слайд 29Метод подбора
10 2
77 = 64 +
77
77
64
Разложение по степеням двойки:
77
= 26 + 23 + 22 + 20
+ 8
+ … + 4 + …
+ 1
77 = 10011012
6 5 4 3 2 1 0
разряды
наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
77 = 126 + 025 + 024 + 123 +122 +021 + 1 20
13
13
5
1
5
1
8
4
1
Слайд 30Перевод из двоичной в десятичную
10011012 = 26 + 23 +
22 + 20
6 5 4 3 2 1 0
разряды
=
64 + 8 + 4 + 1 = 77 Схема Горнера:
Слайд 31Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0
1-1=0
1-0=1 102-1=1
перенос
заём
1 0 1 1 02
+ 1
1 1 0 1 121
1
0
0
1
0
1
1
0
2
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12
1
0 102
1
0
0 1 1 102
0
1
0
1
1
1
Слайд 34Арифметические операции
умножение
деление
1 0 1 0 12
1 0 12
1 0
1 0 12+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12
– 1 1 12
1 1 12
1
1 1 12
– 1 1 12
0
Слайд 36Дробные числа
Большинство дробных чисел хранится в памяти с некоторой погрешностью.
При выполнении вычислений с дробными числами погрешности накапливаются и могут
существенно влиять на результат.Желательно обходиться без использования дробных чисел, если это возможно.
если то...
если то...
Слайд 37Двоичная система счисления
длинная запись чисел: 1024 = 100000000002
запись однородна
(только 0 и 1)
нужны только устройства с двумя состояниями
надёжность передачи
данных при помехахкомпьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.)
Слайд 39Восьмеричная система счисления
Основание: 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7
10 8
8 10
100
100 = 1448
1448
2
1 0разряды
= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100
PDP-11, ДВК,
СМ ЭВМ, БЭСМ,
БК
Слайд 42Перевод в двоичную систему счисления
8
10
2
трудоёмко
2 действия
8 = 23
17258 =
1
7 2 5
001
111 010
1012
{
{
{
{
Слайд 44Перевод из двоичной в восьмеричную
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная
справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной
восьмеричной цифрой:1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1
Слайд 46Арифметические операции
сложение
1 5 68
+ 6 6 28
1
1
6
+ 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6
+ 1 = 12 = 8 + 41 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
1
1 в перенос
1 в перенос
1
08
0
4
1 в перенос
Слайд 48Арифметические операции
вычитание
4 5 68
– 2 7 78
(6
+ 8) – 7 = 7
(5 – 1 +
8) – 7 = 5(4 – 1) – 2 = 1
заём
78
1
5
заём
Слайд 5111
Шестнадцатеричная система счисления
Основание: 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9,
10 16
16 10
444
444 = 1BC16
1BC162 1 0
разряды
= 1·162 + 11·161 + 12·160
= 256 + 176 + 12 = 444
A,
10
B,
11
C,
12
D,
13
E,
14
F
15
С
B
C
B
Слайд 54Перевод в двоичную систему
16
10
2
трудоёмко
2 действия
16 = 24
7F1A16 =
7
F 1 A
0111{
{
1111
0001
10102
{
{
Слайд 56Перевод из двоичной системы
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001
0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной
шестнадцатеричной цифрой:0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16
10010111011112
Слайд 58Перевод в восьмеричную и обратно
трудоёмко
3DEA16 =
11 1101 1110 10102
16
10
8
2
Шаг
1. Перевести в двоичную систему:
Шаг 2. Разбить на триады (справа):
Шаг
3. Триада – одна восьмеричная цифра: 011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528
Слайд 60Арифметические операции
сложение
A 5 B16
+ C 7 E16
1
1 6 D
916
10 5 11
+ 12 7 14
11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6
1
1 в перенос
1 в перенос
13
9
6
1
Слайд 62Арифметические операции
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
заём
1 D D16
12
5 11
– 10 7 14
(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 –
1) – 10 = 1заём
13
1
13
Слайд 65Задача Баше о наборе гирь
+ 1 гиря на правой чашке
0 гиря снята
– 1 гиря на левой чашке
Как с помощью 4-х гирь
взвесить от 0 до 40 кг?Веса гирь – степени числа 3:
1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
Пример:
27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг
Слайд 66Троичная уравновешенная система
ЭВМ «Сетунь» (1958) , Н.П. Брусенцов
Основание: 3
Алфавит:
(«-1»), 0, 1
Для N разрядов: всего 3N значений:
0 + по
[3N/2] положительных
и отрицательных чиселуравновешенная система
и положительные, и отрицательные числа
для изменения знака нужно поменять знаки у всех цифр
запись короче, чем в двоичной системе
нужны элементы с тремя состояниями
Слайд 67Двоично-десятичная система (ДДС)
Десятичные цифры, закодированные в двоичном коде. Вinary coded
decimal (BCD).
9024,19 = 1001 0000 0010 0100, 0001 1001ДДС
9 0 2 4 1 9 101010011,01111ДДС =
= 0001 0101 0011, 0111 1000ДДС = 153,78
легко переводить в десятичную систему
просто умножать и делить на 10
конечные десятичные дроби записываются точно (аналог ручных расчётов)
длиннее, чем двоичная запись
сложнее арифметические операции
Использование – в калькуляторах.
