СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

числа

правила записи чисел и действий над ними.
Цифры - знаки,

при помощи которых записываются числа.
Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Общие сведения

Древнеславянская система счисления

Вавилонская система счисления

Египетская система счисления

результате каких-либо операций из узловых чисел.
 100 +
 10

+

=

ней для записи любых чисел используется всего один символ -

палочка, узелок, зарубка, камушек.

Унарная система счисления

Узелковое письмо «кипу»

Зарубки

Примеры узлов «кипу»

Узелки, дощечки

Камушки

эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её

положения в записи числа.

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:
каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

зависит от её положения в записи числа.
Основание позиционной системы счисления

равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционная система счисления

стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э.
Примерно в

1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.

Десятичная система счисления

вторая – пять десятков, третья – пять единиц. Одна и

та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные величины.

его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится

и к десятичным дробям.
100 = 1
101 = 10 10-1 = 0,1
102 = 100 10-2 = 0,01
103 = 1000 10-3 = 0,001 и т.д.
Например,
26,387 = 2 ∙ 101 + 6 ∙ 100 + 3 ∙ 10-1 + 8 ∙ 10-2 + 7 ∙ 10-3.

быть представлено в виде:
Aq = ± (an–1qn–1+ an–2  qn–2+…+

a0  q0+ a–1q–1+…+ a–m q–m)
Здесь:
А - число;
q - основание системы счисления;
ai - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n - количество целых разрядов числа;
m - количество дробных разрядов числа;
qi - «вес» i-го разряда.
Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

Основная формула

 q0+ a–1  q–1+…+ a–m  q–m)

Примеры записи

чисел в развёрнутой форме:

2012=2103 +0102 +1101 +2100

0,125=110-1 +210-2 +510–3

14351,1=1104 +4103 +3102 +5101 +1100 +110–1

Развёрнутая форма

n цифр.






1011012 36718 3B8F16

1 единицу, 1 тройку и 2 девятки.
2113 = 2∙32

+ 1∙31 + 1∙30 = 18 + 3 + 1 = 2210
Аналогично переводятся и дробные числа.
101,112 = 1∙22 + 0∙21 + 1∙20 + 1∙2-1 + 1∙2-2 = = 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 5,7510.

Перевод осуществляется разложением по степеням основания

основанием 2.
Двоичный алфавит: 0 и 1.
Для целых двоичных чисел можно

записать:
an–1an–2…a1a0 = an–12n–1 + an–22n–2 +…+ a020
Например:

100112 =124+023+022+121+120 = 24 +21 + 20 =1910

Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи

и вычислить значение получившегося выражения.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Шестнадцатеричная

система счисления

3АF16 =3162+10161+15160 =768+160+15=94310.

1∙25 + 1∙24 + 0∙23 + 1∙22 + 0∙21 +

1∙20 = = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310
34,25 = 3∙51 + 4∙50 + 2∙5-1 = 15 + 4 + 0,4 =19,410
2А3,816 = 2∙162 + 10∙161 + 3∙160 + 8∙16-1 = = 512 + 160 + 3 + 0,5 = 675,510

0

1

2

3

4

5

-1

0

1

-1

0

1

2

может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1 qn–1 + an–2 

qn–2 +…+ a0  q0 + a–1  q–1 +…+ a–m  q–m).

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит - совокупность цифр системы счисления.

Система счисления

Двоичная

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

Римская

Позиционная

правила записи чисел.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент

цифры в числе зависит от её положения в записи числа.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Aq = ± (an–1qn–1 + an–2qn–2 +…+ a0q0 + a–1q–1 +…+ a–mq–m)
Здесь:
А - число;
q - основание системы счисления;
ai - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n - количество целых разрядов числа;
m - количество дробных разрядов числа;
qi - «вес» i-го разряда.

Самое главное