Слайд-лекции по дисциплине Высшая математика Инновационный Евразийский

студентов 2 курса ТГТ группы ПРПИ-19 и ТОРА -19

определителя 2-го порядка.
Определители 3-го порядка, вычисление и свойства.
Система двух линейных

уравнений с тремя неизвестными.
Правило Крамера.
Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными.
Понятие определителя n-го порядка.
Обобщение формулы Крамера на случай системы n - линейных уравнений.
Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами.
Обратная матрица.
Решение системы линейных уравнений матричным способом.
Ранг матрицы.
Теорема Кронеккера-Капелли.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

, определяется равенством




где

a1 и b2 – элементы главной диагонали,
a2 и b1 – элементы побочной диагонали
Пример

- формулы Крамера


Δ=0, Δx≠0, Δу ≠0, Δz ≠0- система не имеет решения

Δ=0, Δx=0, Δу =0, Δz =0-система имеет бесконечное множество решений

элементов

, определяется равенством



a1 b2 c3+ a2 b3 c1+ a3 b1 c2- a3 b2 c1- a1 b3 c2- a2 b1 c3



где a1 ,b2 и c3 – элементы главной диагонали,

a3 ,,b2 и c1 – элементы побочной диагонали

2∙5∙6 +

2∙(-5)∙3

+3∙4∙3

-3∙5∙3

-2∙(-5)∙3

-3∙4∙6=

- 21

a1 b2 c3+ b1 c2 a3 + c1 a2 b3 - c1 b2 a3 - a1 c2 b3 - b1 a2 c3



Пример

2∙5∙6 +

+3∙2∙(-5)

4∙3∙3

-3∙5∙3

-2∙3∙(-5)

-4∙3∙6=

- 21

а столбцы – соответствующими строками.
Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или

столбца) может быть вынесен за знак определителя.
Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.
Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

3-ей строки одинаковы, то
определитель равен 0.

сводится к одному уравнению (например, первому), из которого одно выражается

через два других, значения которых остаются произвольными.
Если a1/a2=b1/b2=c1/c2 не выполнено, то решения системы находятся по формулам

- формулы Крамера


Δ=0, Δx≠0, Δу ≠0, Δz ≠0- система не имеет решения

Δ=0, Δx=0, Δу =0, Δz =0-система имеет бесконечное множество решений

неизвестными.
Линейное уравнение называется однородным, если его свободный
член равен нулю.
Система

линейных уравнений называется однородной, если все
входящие в нее уравнения являются линейными однородными
уравнениями.




Если определитель отличен от нуля, то она имеет единственное
решение x=0, y=0, z=0.
В противном случае она имеет бесконечное множество решений

их алгебраические дополнения, т.е.

ко второй строке -третью, умноженную на -2, а к четвертой

строке – третью, умноженную на -2:



Получили преобразованный определитель, который можно разложить по первому столбцу:



Теперь определитель 3-го порядка можно также разложить по строке (столбцу) или подсчитать по правилу треугольников, предварительно вынося за знак определителя общий множитель третьей строки

коэффициентов при неизвестных составим определитель, т.е.

единственное решение



где определитель Δi - полученный из определителя
Δ

заменой i-го столбца на столбец свободных
членов.

формулам Крамера. Найдем определители ∆x1 – ∆x4:

= –∆х3 = ∆х4,
и, следовательно, х1 = х2 =

–х3 = х4 = 1.

i=1, 2, ..., m; j = 1, 2, ...,

n.

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ], || ||.

размера называются равными,
если они совпадают поэлементно, т.е. aij =

bij для любых
i=1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число
ее строк равно числу столбцов и равно n
Матрица, состоящая из одной строки, называется
матрицей-строкой, а из одного столбца-матрицей-столбцом

получающаяся из матрицы A

заменой строк столбцами (и наоборот), называется
транспонированной (по отношению к матрице матрицей.

Матрица называется симметрической матрицей, если AT= A
кососимметрической, если AT= -A

матрица, каждый элемент которой умножен на это число.
Суммой двух матриц

одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны суммам элементов исходных матриц, расположенных на соответствующих местах.
Разность двух матриц одинаковых размеров определяется через предыдущие операции: А - В=А+(-1) В.
Умножением матрицы на матрицу называется матрица, каждый элемент которой равен сумме произведения элементов i -й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы.

исходной матрицы:

∆А=

Так как ∆А = 0, то данная матрица не является вырожденной, и для нее нельзя составить обратную матрицу

Высшая школа. 1996-479 с.
Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебн.

Для вузов. 2-е изд., испр.-М., Высшая школа 1998-304с.
Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике., Минск «Высшая школа.», 1991г., часть 1, 2, 3.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1,2, М.В.Ш., 1996 г.
Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. Москва, Высшая школа., 1, 2, 3 т., 1991, 448с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа., М., 1988, 1989, т.1-3
Гурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. Высшая школа. 1979 г.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. Н., 1988 – 223 с.
Владимиров В. С., Жариков В. П. Уравнение математической физики. М. 2003 г.
Чудесенко В. Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. М., В. Ш., 1985 – 105 с.
Дополнительная:
Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Харьков, 1980 г.
Пискунов Н. П. Дифференциальное и интегральное исчисление по математике для вузов. М., 1970 г., 1985 г., т. 1, 2
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., 1980 г., 1984 г.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., 1981 г., 1985 г.