СЛУ. Основные понятия

форма
Методы решения СЛУ
Теорема Кронекера-Капелли

с n неизвестными имеет вид:









где
коэффициенты при неизвестных,
свободные

коэффициенты.

, то СЛУ называется

неоднородной.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, и система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

неопределенной, если имеет более одного решения.

Выражение «решить СЛУ» означает выяснить,

совместна СЛУ или несовместна, в случае совместности – найти все ее решения.

Решение СЛУ называется упорядоченная совокупность чисел , подстановка которых в СЛУ обращает каждое ее уравнение в тождество.

А с матрицей Х:





- матричный вид исходной СЛУ.

(с помощью определителей)
Метод обратной матрицы




Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) - немецкий

математик
Габриэль Крамер (1704-1752) – швейцарский математик

СЛУ любой размерности.

и складываем со вторым уравнением системы;
1

уравнение умножаем на и складываем с третьим уравнением системы;
И т.д.

В результате чего придем к системе, эквивалентной исходной системе уравнений.

находится из последнего уравнения, значение

из предпоследнего уравнения и т.д., значение
находится из первого уравнения.

уравнения выражается одно из неизвестных через остальные неизвестные и т.д.

последнее уравнение является противоречивым.

Замечание. Метод Гаусса удобно осуществлять в матричном

виде.

СЛУ размерности nxn.

Рассмотрим СЛУ:

, то СЛУ имеет единственное решение

, где . (Формулы Крамера)

применим к СЛУ размерности nxn.

Рассмотрим СЛУ в матричном виде:

или нет можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместимости

СЛУ необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество ее решений является бесконечным.