Статистические оценки параметров распределения

полигона и гистограммы частот
Параметры оценки генеральной совокупности

основании результатов выборочного наблюдения.
Оценки являются случайными величинами. Они обеспечивают

возможность формирования обоснованного суждения о неизвестных параметрах генеральной совокупности.

Примером оценки генеральной средней является выборочная средняя генеральной дисперсии - выборочная дисперсия и т.д.

генеральной характеристике разработаны 4 критерия:
состоятельность,
несмещенность,
эффективность,
достаточность.
Этот подход

основывается на том, что качество оценки определяется не по ее отдельным значениям, а по характеристикам ее распределения как случайной величины.

таких выборочных характеристик, как средняя арифметическая, мода и медиана, только

средняя арифметическая представляет собой состоятельную, несмещенную, эффективную и достаточную оценку генеральной средней.
Этим и обуславливается предпочтение, отдаваемое средней арифметической в ряду остальных выборочных характеристик.

любом объеме выборки равно значению оцениваемого параметра в генеральной совокупности.

Если это требование не выполняется, то оценка является смещенной.
Условие несмещенности оценки направлено на устранение систематических ошибок оценивания.
При решении задач оценивания применяют также асимптотически несмещенные оценки, для которых при увеличении объема выборки математическое ожидание стремится к оцениваемому параметру генеральной совокупности.
Состоятельность статистических оценок проявляется в том, что с увеличением объема выборки оценка все больше и больше приближается к истинному значению оцениваемого параметра или, как говорят, оценка сходится по вероятности к искомому параметру, или стремится к своему математическому ожиданию. Лишь состоятельные оценки имеют практическую значимость.
- это такая оценка несмещенного параметра, которая обладает наименьшей дисперсией при данном объеме выборки. На практике дисперсия оценки обычно отождествляется с ошибкой оценки.

Критерии оценки

любом объеме выборки равно значению оцениваемого параметра в генеральной совокупности.

Если это требование не выполняется, то оценка является смещенной.
Условие несмещенности оценки направлено на устранение систематических ошибок оценивания.
При решении задач оценивания применяют также асимптотически несмещенные оценки, для которых при увеличении объема выборки математическое ожидание стремится к оцениваемому параметру генеральной совокупности.
Состоятельность статистических оценок проявляется в том, что с увеличением объема выборки оценка все больше и больше приближается к истинному значению оцениваемого параметра или, как говорят, оценка сходится по вероятности к искомому параметру, или стремится к своему математическому ожиданию. Лишь состоятельные оценки имеют практическую значимость.
- это такая оценка несмещенного параметра, которая обладает наименьшей дисперсией при данном объеме выборки. На практике дисперсия оценки обычно отождествляется с ошибкой оценки.

Критерии оценки

любом объеме выборки равно значению оцениваемого параметра в генеральной совокупности.

Если это требование не выполняется, то оценка является смещенной.
Условие несмещенности оценки направлено на устранение систематических ошибок оценивания.
При решении задач оценивания применяют также асимптотически несмещенные оценки, для которых при увеличении объема выборки математическое ожидание стремится к оцениваемому параметру генеральной совокупности.
Состоятельность статистических оценок проявляется в том, что с увеличением объема выборки оценка все больше и больше приближается к истинному значению оцениваемого параметра или, как говорят, оценка сходится по вероятности к искомому параметру, или стремится к своему математическому ожиданию. Лишь состоятельные оценки имеют практическую значимость.
Это такая оценка несмещенного параметра, которая обладает наименьшей дисперсией при данном объеме выборки. На практике дисперсия оценки обычно отождествляется с ошибкой оценки.

Критерии оценки

к дисперсии другой оценки.

Оценка, обеспечивающая полноту использования всей содержащейся в

выборке информации о неизвестной характеристике генеральной совокупности, называется достаточной (исчерпывающей).

Критерии оценки

из которой отбирают часть объектов.
Опр 2: Выборка (или выборочная совокупность)

- это множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.
Опр 3: Число объектов генеральной совокупности и выборки называют соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки.

и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной.

Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

Генеральная совокупность и выборка

x1, x2, … xk объёма N.
Опр 5: Наблюдаемые значения x1,

x2, … xk называют вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке, - вариационным рядом.
Опр 6: Числа наблюдений n1, n2, …nk называют частотами, а их отношения к объему

, , …,
- относительными частотами.
Сумма относительных частот равна единице:

им частот или относительных частот.

Статистическое распределение выборки

.
Для построения полигона на оси Ох откладывают значения вариант xi,

на оси Оу - значения частот ni (относительных частот ωi).

Полигон частот

Статистическое распределение выборки

основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны

отношению (плотность частоты).

Статистическое распределение выборки

параметра Θ теоретического распределения называют функцию

от наблюдаемых случайных величин .
Опр 11: Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом
, где -
результаты n наблюдений над количественным признаком X (выборка).

оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Опр 13: Смещенной называют точечную

оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Статистическое распределение выборки

значений признака выборочной совокупности.
Опр 15: Выборочной дисперсией Dв называется среднее

арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака X от выборочного среднего .

Статистическое распределение выборки

средняя

,
где xi – варианта выборки, ni – частота варианты xi ,
- объем выборки.

Статистическое распределение выборки

или .

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная
дисперсия

Статистическое распределение выборки

дисперсии
Выборочное среднее

неизвестную характеристику.
Доверительный интервал

где - аргумент распределения Стьюдента, соответствующей доверительной вероятности γ и (N-1) степени свободы.

Доверительный интервал

тратили они на обработку одной детали. Обобщая полученные данные составили

таблицу.

Пользуясь таблицей, постройте гистограмму частот, характеризующую распределение токарей бригады по времени, затрачиваемому на обработку одной детали.

организации по возрастным группам:
Пользуясь гистограммой, найдите:
а) число рабочих строительной организации

в возрасте от 18 до 23 лет;
б) возрастную группу, к которой относится наибольшее число рабочих;
в) общее число рабочих строительной организации.

которые могут быть сделаны при данном комплексе условий. В некоторых

задачах генеральную совокупность рассматривают как случайную величину Х.
Выборочной совокупностью (выборкой) называют множество результатов, случайно отобранных из генеральной совокупности.
Выборка должна быть репрезентативной, т.е. правильно отражать пропорции генеральной совокупности. Это достигается случайностью отбора, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отобранными.

(статистики) - случайные величины.
В самом общем смысле статистическое оценивание

параметров распределения можно рассматривать как совокупность методов, позволяющих делать научно обоснованные выводы о числовых параметрах генеральной совокупности по случайной выборке из нее.

величина, подчиненная закону распределения F(x,θ), где θ - параметр распределения,

числовое значение которого неизвестно.
Исследовать все элементы генеральной совокупности для вычисления параметра θ не представляется возможным, поэтому о данном параметре пытаются судить по выборкам из генеральной совокупности.

величина, подчиненная закону распределения F(x,θ), где θ - параметр распределения,

числовое значение которого неизвестно.
Исследовать все элементы генеральной совокупности для вычисления параметра θ не представляется возможным, поэтому о данном параметре пытаются судить по выборкам из генеральной совокупности.

дисперсия распределения средней арифметической в n раз меньше дисперсии случайной

величины X.

при интервальной оценке математического ожидания при неизвестном значении среднего квадратического

отклонения σ.
Теория статистического оценивания рассматривает два основных вида оценок параметров распределений: точечные и интервальные оценки

θn(x1, x2, ... , xn), значение которой принимается за наиболее

приближенное в данных условиях к значению параметра θ генеральной совокупности.
Примером точечных оценок являются X , S2 , S и др., т.е. оценки параметров одним числом.

возможно лучшей оценки, отвечающей требованиям несмещенности, эффективности и состоятельности. Точечную

оценку называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.
Выполнение требования несмещенности оценки гарантирует отсутствие ошибок в оценке параметра одного знака

являются математическое ожидание и дисперсия.
Рассмотрим вопрос о том, какими

выборочными характеристиками лучше всего в смысле несмещенности, эффективности и состоятельности оцениваются математическое ожидание и дисперсия.

может существенно отличаться от истинного значения параметра, т.е. приводить к

грубым ошибкам. Поэтому в случае малой выборки часто используют интервальные оценки.

направлении (когда надо указать границы интервала), так и в обратном

(где по заданным границам надо определить надежность или объем выборки).
Как правило, обратные задачи не всегда разрешимы, особенно, при поиске объема выборки.
Поскольку в реальных задачах исследователь стремиться к высокой надежности и точности (т.е. к «узкому» интервалу) при минимальном объеме выборки, то может возникнуть противоречие.

Интервальные оценки параметров распределений