Статистика Бозе. Модель Бозе – Хаббарда

– Хаббарда

1.10. Статистика Бозе. Модель Бозе – Хаббарда

и отсутствие принципа Паули
Бозе-частицы обладают целочисленным спином (в частности, нулевым),

при низких температурах поведение бозе-системы принципиально отличается от поведения ферми-системы
Размерность базиса бозе-системы существенно больше размерности системы с ферми-частицами при том же количестве частиц:


Коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения бозе-частиц:

гелия по пористым каналам, системы джозефсоновских контактов в сверхпроводниках, экситонных

возбуждений в полупроводниках и др.
В последнее время интенсивно развиваются исследования атомарных газов щелочных металлов в магнитооптических ловушках. Удалось получить бозонный газ при чрезвычайно низких температурах и высоких плотностях и наблюдать бозе-конденсацию таких систем. При внесении в эту систему стоячих поперечных электромагнитных волн получается пространственная оптическая решетка, т.е. для бозонов строится периодический потенциал с центрами в пучностях волн, так что экспериментально формируется решеточный бозонный газ с контролируемым видом решетки и взаимодействия

спектра, если перескоки бозонов осуществляются только на соседние узлы решетки
Важная

особенность модели – существование фазовых переходов «сверхтекучесть – изолятор» даже в одномерном случае, в то время как в одномерной фермионной модели Хаббарда фазовые переходы отсутствуют
При численном моделировании вводится ограничение чисел заполнения на узлах:

Сильное взаимодействие на узле – hard-core-модель:


Смешанная статистика в hard-core-модели:

этой системы:

Гамильтонова матрица:





Hard-core-бозоны при тех же параметрах задачи:

диагонален:




Такое преобразование не меняет бозе-статистики, так как




Любое ограничение чисел заполнения

сразу же нарушает это условие

при нулевой температуре:


Эти результаты не будут справедливы для бозонов с

ограничением чисел заполнения, так как новые операторы в импульсном представлении не будут обладать бозевскими коммутационными соотношениями
Разрешенные значения энергии образуют зону шириной 2Zt, при этом если все бозе-частицы собраны внизу зоны, например при низких температурах, то закон дисперсии будет близок к квадратичному:


и эффективная масса частиц

возбужденное состояние
двукратно вырождено:

полное число частиц:


Гамильтонова матрица может быть представлена в блочном виде:



Коммутативность

гамильтониана с оператором числа частиц нарушается, если рассматривать систему помещенной во внешнее поперечное поле. В этом случае в гамильтониане появится дополнительное слагаемое, пропорциональное