Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
ТЕМА 10. Числовые, функциональные и степенные ряды
Содержание
- 1. ТЕМА 10. Числовые, функциональные и степенные ряды
- 2. Числовым рядом называется сумма вида:где числа u1,
- 3. Если
- 4. Пример.Найти сумму членов ряда:Находим частичные суммы членов ряда:
- 5. Запишем последовательность частичных сумм:
- 6. Необходимый признак сходимости рядаРяд
- 7. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членамиа)
- 8. образован из членов геометрической прогрессии:Геометрический рядсходится при |q|
- 9. Обобщенный гармонический рядсходится при p >1расходится при p ≤1
- 10. Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак
- 11. Сравнивая члены нашего ряда с соответствующими членами
- 12. Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:Следовательно, данный ряд сходится.
- 13. Основные понятияОпределение 1:Функциональным называется ряд, члены которого
- 14. Пример функционального ряда Рассмотрим геометрическую прогрессию
- 15. Основные понятияОпределение 2:Совокупность значений x, при которых
- 16. Определение 3:ФР называется равномерно сходящимся в некоторой
- 17. Определение 4:Пусть даны: причем в некоторой области выполняется условие:Тогда
- 18. Признак ВейерштрасаЕсли мажоранта функционального ряда сходится, то сходится и функциональный ряд абсолютно и равномерно.
- 19. Свойства абсолютно и равномерно сходящихся рядов Пусть даны функциональные ряды:
- 20. Степенные ряды Определение 5: Функциональный ряд вида: называется степенным рядом.
- 21. Теорема АбеляЕсли степенной ряд сходится при x
- 22. Нахождение радиуса сходимостиПо признаку Даламбера:
- 23. Нахождение радиуса сходимостиПо радикальному признаку Коши:
- 24. Ряд ТейлораОпределение 6:Рядом Тейлора функции f(x) называется
- 25. Достаточное условие разложения функции в ряд ТейлораОпределение 6:Всякая функция f(x) бесконечно дифференцируемая в интервале |x-x0|
- 26. Ряд МаклоренаОпределение 7:Рядом Маклорена функции f(x) называется
- 27. Степенные ряды Определение. Ряд
- 28. Интервал сходимости степенного ряда Для любого
- 29. Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера
- 30. Продолжение В этом случае ряд будет
- 31. Примеры Найти интервал сходимости ряда
- 32. Примеры Положим
- 33. Примеры Найти интервал сходимости степенного
- 34. Продолжение =
- 35. Пример Найти интервал сходимости ряда
- 36. Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда
- 37. Почленное дифференцирование 2. Ряд, полученный
- 38. Почленное интегрирование 3. Степенной ряд можно
- 39. Определения Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция
- 40. Степенной ряд как ряд Тейлора Теорема.
- 41. Формула Тейлора Рассмотрим n-ю частичную сумму
- 42. Формула Тейлора с остаточным членом в форме
- 43. Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)
- 44. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
- 45. Разложение Все производные этой функции совпадают
- 46. Разложение в ряд синуса. Вычислим производные синуса:
- 47. Продолжение Ясно, что все производные синуса
- 48. Приближенное вычисление интегралов Разложения 1–7 позволяют,
- 49. Решение Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
- 50. Продолжение Так как получившийся ряд
- 51. Продолжение Вычислив еще несколько членов
- 52. Приближенное вычисление значений функций Вычислить
- 53. Скачать презентанцию
Числовым рядом называется сумма вида:где числа u1, u2, u3,…,un,... – члены ряда (бесконечная последовательность),un – общий член ряда.Частичные суммы ряда:S1=u1,S2=u1+u2,S3=u1+u2+u3,…………………..Sn=u1+u2+u3+…+un
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Числовым рядом называется сумма вида:
где числа u1, u2, u3,…,un,... –
члены ряда (бесконечная последовательность),
Слайд 3Если
или
,то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда.
Если частичная сумма Sn ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (в частности, стремится к +∞ или к -∞), то такой ряд называется расходящимся.
Слайд 5Запишем последовательность частичных сумм:
…
Общий член этой последовательности есть:
n/(2n+1)Последовательность частичных сумм имеет предел, равный 1/2. Итак, ряд сходится и его сумма равна 1/2.
Слайд 6Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может
сходиться только при условии, что его общий член un при
неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.
Слайд 7Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами
а) Признак сравнения рядов
с положительными членами.
Исследуемый ряд сходится, если его члены не
превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.б) Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами
выполняется условие , то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.
Признак Даламбера не дает ответа, если l=1. В этом случае для исследования ряда применяют другие приемы.
Слайд 10Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак
сравнения:
Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Для признака сравнения сравним данный
ряд с геометрическим:который сходится, так как q=1/2<1.
Слайд 11Сравнивая члены нашего ряда с соответствующими членами геометрического ряда, получим
неравенства:
Т.е. члены данного ряда соответственно меньше членов геометрического ряда. Следовательно,
данный ряд сходится.
Слайд 12Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:
Следовательно, данный ряд сходится.
Слайд 13Основные понятия
Определение 1:
Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции
от аргумента x:
При x=n функциональный ряд становится числовым, который либо
сходится, либо расходится.
Слайд 14Пример функционального ряда
Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х:
.
Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая
очевидно является функцией от х.
Слайд 15Основные понятия
Определение 2:
Совокупность значений x, при которых ФР сходится, называется
областью сходимости ряда.
Сумма ФР может быть представлена:
Слайд 16Определение 3:
ФР называется равномерно сходящимся в некоторой области X, если
для каждого сколь угодно малого ε>0 найдется такое N(ε)>0, что
при n>N выполняется неравенство:S(x) – непрерывная функция
Слайд 18Признак Вейерштраса
Если мажоранта функционального ряда сходится, то сходится и функциональный
ряд абсолютно и равномерно.
Слайд 21Теорема Абеля
Если степенной ряд сходится при x = x1, то
он сходится для всех |x| < |x1|.
Если степенной ряд расходится
при x = x2, то он расходится для всех |x |> |x2|.Из теоремы следует, что существует такое положительное значение x = R, что при |x| < R степенной ряд сходится,
а при |x| > R расходится, R - радиус сходимости.
x0
x0 + R
x0 - R
Ряд сходится
Слайд 24Ряд Тейлора
Определение 6:
Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:
это
есть разложение функции в окрестности точки x0.
Коэффициентами являются производные высших
порядков в точке x0, т.е. Для разложения в ряд Тейлора необходимо, чтобы f(x)существовала в x0 вместе со своими производными.
Слайд 25Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора
Определение 6:
Всякая функция f(x)
бесконечно дифференцируемая в интервале |x-x0|
ряд Тейлора, если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю:
Слайд 26Ряд Маклорена
Определение 7:
Рядом Маклорена функции f(x) называется степенной ряд вида:
это
есть разложение функции в окрестности точки x=0.
Коэффициентами являются производные высших
порядков в точке x=0, т.е. Для разложения в ряд Маклорена необходимо, чтобы f(x)существовала в x=0 вместе со своими производными.
Слайд 27Степенные ряды
Определение. Ряд
называется степенным по
степеням х . Ряд
является степенным по степеням
. 
Слайд 28Интервал сходимости степенного ряда
Для любого степенного ряда существует
конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое,
что если , то приряд сходится, а при расходится.
Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.
Слайд 29Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера
Составим ряд из
абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором
он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.
Слайд 30Продолжение
В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала
(-R,R),где R-это радиус сходимости ряда:
.За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где
, требуется
дополнительное исследование.
Слайд 31Примеры
Найти интервал сходимости ряда
.
Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).
Слайд 32Примеры
Положим . Тогда получим
числовой ряд
. Этот ряд расходится(сравните его с гармоническим рядом).
Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд ,
который сходится условно в силу теоремы Лейбница.
Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).
Слайд 34Продолжение
=
.
Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой.
Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .
Слайд 35Пример
Найти интервал сходимости ряда
.
= == = .
Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.
Слайд 36Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда
1. Сумма степенного
ряда
является непрерывной
функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда.Например,
непрерывна , если .
Слайд 37Почленное дифференцирование
2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного
ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что
и данный ряд, причем :если, то
Слайд 38Почленное интегрирование
3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на
любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при
этомгде .
Слайд 39Определения
Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного
ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд .
Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются по формулам , т.е. ряд
или .
Разложение функций в степенные ряды
Слайд 40Степенной ряд как ряд Тейлора
Теорема. Если в некоторой
окрестности точки
,
то ряд справа есть ее ряд Тейлора.
Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора.
Представление функции ее рядом Тейлора единственно.
Слайд 41Формула Тейлора
Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора:
Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции
.Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.
Слайд 42Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Остаточный
член в форме Лагранжа имеет вид:
Тогда
называется
формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Слайд 43Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)
Для того
чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо
и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех
Слайд 44Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
Если функция
f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно
ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всехвыполняется условие
при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.
Слайд 45Разложение
Все производные этой функции совпадают с самой функцией,
а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции
формально ряд Маклорена:Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции
Слайд 47Продолжение
Ясно, что все производные синуса не превосходят по
модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса:
при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси. 
Слайд 48Приближенное вычисление интегралов
Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение,
вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001 Применение степенных рядов
Слайд 50Продолжение
Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то
сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно,
что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.
Слайд 51Продолжение
Вычислив еще несколько членов ряда
видим, что
Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:
Слайд 52Приближенное вычисление значений функций
Вычислить
с точностью до 0,001.Преобразуем
Воспользуемся биномиальным рядом при
х=0,25 и Получим
