– и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы
достигли цели».Готфрид Лейбниц
01.07.1646 – 14.11.1716 гг.
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Тема 12. Уравнения и неравенства
Содержание
- 1. Тема 12. Уравнения и неравенства
- 2. «Метод решения хорош, если с самого начала
- 3. Методы решения уравнений – это способы, приёмы,
- 4. Общие методы решения уравнений – это такие
- 5. Общие методы решения уравненийФункционально-графический методМетод разложения на множители Метод введения новой переменнойобщие методы решения уравнений любых видов
- 6. Метод замены уравнения h(f(х)) = h(g(х)) уравнением
- 7. Пример 1. Решить уравнение (3х – 7)5
- 8. Пример 2. Решить уравнение (8 – 2х)2
- 9. Пример 3. Решить уравнение log3(х + 1)
- 10. — показательного уравнения; — логарифмического уравнения; — иррационального уравнения; вывод:
- 11. Метод разложения на множителиf(x) g(x) h(x) =
- 12. Пример 4. Решить уравнение sin х +
- 13. Пример 4. Решить уравнение sin х +
- 14. Метод введения новой переменной Суть его заключается в
- 15. Пример 5. Решить уравнение 4х – 10
- 16. Решение. t = log5 х; t2 – 2t
- 17. Функционально-графический метод решения уравнения f(х) = g(х)Cтроят
- 18. Пример 7. Решить уравнение 2 cos πх
- 19. Монотонность;ограниченность;чётность;периодичность; если одна из функций возрастает, а
- 20. Решение. Ответ: 0. Данное уравнение рационально решать функциональным
- 21. Скачать презентанцию
«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели».Готфрид Лейбниц01.07.1646 – 14.11.1716 гг.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Тема 12. Уравнения и неравенства
12.4. Общие методы решения уравнений
https://youtu.be/V9UOk7LWXAM
Слайд 2«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть
Слайд 3Методы решения уравнений – это способы, приёмы, с помощью которых
можно решить то или иное уравнение.
Слайд 4Общие методы решения уравнений – это такие способы, приёмы, с
помощью которых можно решить уравнения разного типа.
Слайд 5Общие методы решения уравнений
Функционально-графический метод
Метод разложения на множители
Метод введения новой
переменной
общие методы решения уравнений любых видов
Слайд 6Метод замены уравнения h(f(х)) = h(g(х)) уравнением f(х) = g(х)
Если
функция h(х) монотонная, то она принимает каждое своё значение только
один раз.
Слайд 7Пример 1. Решить уравнение (3х – 7)5 = (2х +
3)5.
Решение.
3х – 7 = 2х + 3;
3х – 2х
= 3 + 7;х = 10;
Ответ: 10.
Решение
Т.к. показатель степени одинаков, основание однородны - функцияh(х) = х2 монотонная
и возрастающая, то в решении участвуют только основания степени.
Переносим слагаемые, приводим подобные слагаемые, получим икс равен десяти.
Выполнили равносильные преобразования, проверку делать не нужно.
Слайд 8Пример 2. Решить уравнение (8 – 2х)2 = (х2 +
5)2.
Решение.
Так как функция h(х) = х2 немонотонная, то применять
этот метод нельзя.
Слайд 9Пример 3. Решить уравнение log3(х + 1) + log3(х +3)
= 1.
Решение.
ОДЗ:
х + 1 > 0
х + 3 >
0 ⇒ х > –1;
log3(х + 1)(х + 3) = log33;
(х + 1)(х + 3) = 3;
х2 + 4х = 0;
х1= 0, х2 = –4;
Ответ: 0.
Решение
Вычислим ОДЗ уравнения. Она задается системой неравенств:
х + 1 > 0 и х + 3 > 0. Отсюда х > –1.
Воспользуемся свойством логарифма и
тем, что один равен логарифму трех по основанию три, получим логарифмическое уравнение log3(х + 1)(х + 3) = log33
Так как функция h(х) = log33 монотонная (возрастающая), то данное уравнение равносильно уравнению (х + 1)(х + 3) = 3;
Решая квадратное уравнение, получим корни: х1= 0, х2 = –4;
Ноль принадлежит ОДЗ.
Минус четыре не принадлежит ОДЗ.
Слайд 10— показательного уравнения;
— логарифмического уравнения;
— иррационального уравнения;
вывод: рассмотренный метод применяется
в случае монотонных функций h(х) например, при решении:
Слайд 11Метод разложения на множители
f(x) g(x) h(x) = 0 заменяют совокупностью
уравнений f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0.
Он
заключается в том, что уравнение f(x)g(x)h(x)=0 заменяют совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0.
Решив эти уравнения, вычислив корни, обязательно их нужно проверить.
Слайд 12Пример 4. Решить уравнение sin х + sin 2х+ sin
3х = 0.
Решение.
(sin х + sin 3х) + sin
2х = 0;2 sin 2х cos х + sin 2х = 0;
sin 2х (2 cos х + 1) = 0;
Слайд 13Пример 4. Решить уравнение sin х + sin 2х+ sin
3х = 0.
Решение.
(sin х + sin 3х) + sin
2х = 0;2 sin 2х cos х + sin 2х = 0;
sin 2х (2 cos х + 1) = 0;
ОДЗ уравнения множество всех действительных чисел.
Слайд 14Метод введения новой переменной
Суть его заключается в следующем:
если уравнение
f(x)=0 имеет вид ( или может быть приведено к виду)p(g(х)),
то вводят новую переменнуюu= g(х), получают уравнение p(u)=0, решают его и находят корни (u1, u2,… n).
Возвращаются к старой переменной и получают совокупность уравнений
Решая эту совокупность, находят корни данного уравнения.
Слайд 15Пример 5. Решить уравнение 4х – 10 · 2х-1 =
24.
Решение.
22х – 5 · 2х – 24 = 0;
2х
= t, t > 0;t2 – 5t – 24 = 0;
Заменим 4х=22х, 10·2-1= 5, получим: 22х-5·2х-24=0
Заменим 2х=t, t >0 ,
получим t2- 5t- 24=0.
t1=-3, t2=8.
Корень t1=-3 является посторонним, т.к. не удовлетворяет условию, t >0
Возвращаемся к замене 2х=t, получим 2х=8, х=3.
Ответ:3
Слайд 16
Решение.
t = log5 х;
t2 – 2t – 3 =
0;
Ответ: 125; 0,2.
Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и
сделаем замену переменной t= log5 х, тогда Теперь данное уравнение перепишется в виде t2- 2t- 3=0. t1=3, t2=-1.
Решая уравнения замены log5 х=3 и log5 х= -1,
Находим х=53=125 и х=5-1=0,2
Слайд 17Функционально-графический метод решения уравнения f(х) = g(х)
Cтроят графики функций у
= f(х) и у = g(х).
Затем находят точки пересечения
этих графиков, определяют их абсциссы.Они и являются корнями данного уравнения.
Этот метод позволяет определить число корней, их приближенные, а иногда и точные значения.
Слайд 18Пример 7. Решить уравнение 2 cos πх = 2х –
1.
Решение.
Ответ: х = 0,5.
1
2
3
4
–1
–2
–3
2
4
–2
–4
у = 2 cos πх
у
= 2х – 1Построим в одной системе координат графики функций у=2cosπх и у=2х-1.
Точка пересечения графиков (0,5;0)
Значит, уравнение имеет один корень х=0,5.
Слайд 19Монотонность;
ограниченность;
чётность;
периодичность;
если одна из функций возрастает, а другая убывает на
определённом промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь
более одного корня который, в принципе, можно найти подбором;если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах= А g(x)мin= A, то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений:
f(x) = A
g(x) = A.
Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) ,как
Слайд 20
Решение.
Ответ: 0.
Данное уравнение рационально решать функциональным методом. Рассмотрим функцию
В силу ограниченности функции косинуса. Наибольшее значение функции f(x) равно
А=1. Очевидно, функция g(x)= x2+1наименьшее значение равно А=1.
Поэтому данное уравнение равносильно системе уравнений
Очевидно, что корень второго уравнения равен х=0.
проверка х=0 удовлетворяет и первому уравнению. Следовательно, система уравнений ( а также исходное уравнение) имеет единственный корень х=0.
Ответ:0.
