Тема 12. Уравнения и неравенства

= h(х)
называют равносильными, если множества их корней совпадают.

0 и х –1 = 0 равносильными?
Решение.
х2 – 1

х – 1 = 0;
х = 1;

Ответ: уравнения х2 – 1 = 0 и х – 1 = 0 не являются равносильными.

Вычислим корни уравнения х – 1 = 0.
Это уравнение имеет один корень — х = 1.

Решение
Вычислим корни уравнения х2 – 1 = 0.
Оно имеет два корня х1 = 1, х2 = –1

Данные уравнения не являются равносильными,
т.к. х2 – 1 = 0 имеет два корня, а уравнение х – 1 = 0 имеет один корень — х = 1

0 и (х + 3)(2х – 8) = 0 равносильными?
Решение.

Ответ: уравнения х2 – 9 = 0 и (х + 3)(2х – 8) = 0 являются равносильными.

х2 – 9 = 0;
х1= 3, х2= –3;

(х + 3)(2х – 8) = 0;
х1= 3, х2= –3;

Данные уравнения являются равносильными,
так как каждое из них имеет по два корня: х1= 3, х2= –3

 
Данные уравнения являются равносильными, так как каждое из них не

то такие уравнения – равносильные.

же время корнем уравнения р(х) = h(х) (2)
то уравнение (2)

0 и х2 – 5х + 6 = 0
является

Решение.

Ответ: уравнение х2 – 5х + 6 = 0 является следствием
уравнения х – 2 = 0.

х – 2 = 0;
х = 2;

х2 – 5х + 6 = 0;
х1 = 2; х2 = 3;

Решение
Обозначим уравнение х – 2 = 0 № 1, а уравнение х2 – 5х + 6 = 0 № 2.
Уравнение 1 имеет единственный корень, равный двум.
Уравнение 2 имеет два корня: х1 = 2; х2 = 3;
Единственный корень 1 уравнения — х = 2 — является также корнем второго.
Поэтому второе является следствием первого уравнения.

3 = 0 и х2 – 5х + 6 =

Решение.

Ответ: ни одно из уравнений не является следствием другого.

х2 – 4х + 3 = 0;
х1=1; х2= 3;

х2 – 5х + 6 = 0;
х1 = 2; х2 = 3;

Решение
Обозначим уравнение х2 – 4х + 3 = 0 номером 1, а уравнение х2 – 5х + 6 = 0 — номером 2
Уравнение первое имеет два корня: х1=1; х2= 3,
Уравнение второе имеет два корня: х1 = 2; х2 = 3;
Оба уравнения имеют только по одному общему корню.
Согласно определению, ни одно из них не является следствием другого.

такие два уравнения равносильны.

уравнения
мы приходим к достаточно простому уравнению,
которое решаем и

Анализируем преобразования,
которые выполнили,
и выясняем, равносильны ли они.

Проверка всех найденных корней
их подстановкой в исходное уравнение обязательна при выполнении преобразований, которые могут привести к уравнению-следствию.

Этапы решения уравнения

Второй этап – анализ решения.

Третий этап – проверка.

называются «спокойными».
Их применение гарантирует равносильность преобразований без дополнительных условий.

другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Теорема

х5 + 3х2 – 7 = 4х + 10;

х5 + 3х2 – 4х = 17.

получаем уравнение, равносильное данному уравнению.

х5 + 3х2 - 4х = 10 + 7

переносим слагаемые 4х и – 7 из одной части в другую

нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Теорема 2.
 
 
если

то в силу теоремы второй, уравнения равносильны.

равносильно уравнению f(x) = g(х).
Теорема 3.
 
 
Например, показательные уравнения

определенных условий.
При их применении требуются внимание и аккуратность.

переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х, при которых

и то же выражение h(х), которое:
1. имеет смысл всюду

Теорема 4.

Следствием теоремы четыре является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

х + 3 ≠ 0;
х ≥

Следствием теоремы четыре является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

- умножим обе части уравнения на (х + 3)

уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и

Теорема 5.

= 2.
ОДЗ
Возведем в квадрат обе части уравнения и получим,

Решение
ОДЗ иррационального уравнения задается неравенством 6х – 11 ≥ 0,
решение которого х ≥ одной целой пяти шестым.
В этой ОДЗ обе части уравнения неотрицательны.

0, g(х) > 0,, то логарифмическое уравнение loga f(x) =

Теорема 6.

= 3х2+2;
g(х)= 4|х|+1;
3х2 + 2 = 4|х| + 1;
 
 
В данном

По теореме шесть, данное уравнение равносильно уравнению 3х2 + 2 = 4|х| + 1

Корни являются корнями исходного уравнения

следствие


https://youtu.be/5tNAKQ3KtZM

уравнения в одну и ту же чётную степень.
3. Освобождение от

Уравнение-следствие получается из данного уравнения путем расширения области определения уравнения.
Это возможно при выполнении таких преобразований, как

уравнения, то обязательна проверка всех найденных корней.

10 = 0;
х1 = 5; х2 = –2.
Второй этап –

Проверка корней обязательна.

Третий этап – проверка.

Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое уравнение и решим его. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, то есть на выражение икс умноженное на икс минус пять.

Проверим выполненные преобразования на равносильность.
При решении уравнения, мы его обе части умножили на выражение, содержащее переменную. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Подставим найденные корни в исходное уравнение.
При икс равном минус два общий знаменатель не обращается в нуль. Значит, икс равно минус два является корнем данного уравнения.
При икс равном пяти общий знаменатель обращается в нуль. Поэтому икс равно пяти – посторонний корень.

– 6 = 4 – х;
2х = 10;
х = 5.
Второй

Проверка корней обязательна.

Третий этап – проверка.

Первый этап — технический.
Для того чтобы получить простое уравнение и решить его, выполним цепочку преобразований.
Возведем в квадрат (четная степень) обе части этого уравнения, перенесем иксы в левую часть , а числа в правую часть уравнения, приведем подобные слагаемые, получим: 2х = 10. х = 5.

Второй этап – анализ решения.
Проверим выполненные преобразования на равносильность.
При решении уравнения, мы его обе части возвели в квадрат. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап – проверка.
Подставим найденные корни в исходное уравнение.
Если икс равен пяти, выражение квадратный корень из четырех минус икс не определено, поэтому икс, равный пяти – посторонний корень. Значит, данное уравнение не имеет корней

ln(х – 1).
Решение.
Ответ: 2.
Первый этап – технический.
х2 +

Второй этап – анализ решения.

Проверка корней обязательна.

Третий этап – проверка.

х = 2: ln1= ln1;

х = –3: ln(х2 + 2х – 7),
ln(х – 1) – не определены;

Первый этап — технический.
Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое уравнение и решим его. Для этого потенцируем
уравнение, перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, приведем подобные члены, получим квадратное уравнение икс квадрат плюс икс минус шесть равно нулю.
Вычислим корни: х1 = 2, х2 = –3.

Второй этап – анализ решения.
Проверим выполненные преобразования на равносильность.
В процессе решения данного уравнения мы освободились от знаков логарифмов. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап – проверка.
Подставим найденные корни в исходное уравнение.
Если икс равен двум, то получаем натуральный логарифм единицы равен натуральному логарифму единицы —
верное равенство.
Значит, икс равный двум – корень данного уравнения.
Если икс равен минус трем, то натуральный логарифм выражения икс квадрат плюс два икс минус семь и натуральный логарифм выражения икс минус один не определены. Значит, икс равный минус трем — посторонний корень.

Потеря корней при решении уравнения



https://youtu.be/zmh3ro09Amc

исходного уравнения мы приходим к достаточно простому, которое решаем и

Анализируем преобразования, которые выполнили, и выясняем, равносильны ли они

Проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение обязательна при выполнении преобразований, которые могут привести к уравнению-следствию

Вопрос - Всегда ли нужно выделять три этапа при решении уравнения?
Ответ - Конечно, нет. Обязательно проводить анализ на равносильность преобразований

Первый этап – технический.

Третий этап – проверка.

требуется.

При проверке корней уравнения очень часто используют ОДЗ.

Если

из одной части уравнения в другую,
приведем подобные слагаемые, получим

Проверка
Значение х1=√2 является корнем уравнения, так как оно входит в ОДЗ. Значение х2= -√2 не является корнем уравнения, т.к. оно не входит в ОДЗ.
Проверим х=√2 , подставив его в исходное равенство, получим верное равенство,
значит, х=√2 является корнем уравнения.

ОДЗ уравнения определяется системой двух неравенств:

Корни квадратного уравнения

имеет решений.

Корнем уравнения не может быть ни одно из

ОДЗ иррационального уравнения переделяется системой двух неравенств:

возведем обе части этого уравнения в квадрат,
перенесем все слагаемые

Проверка
Если икс равен единице, то получим верное равенство, значит, икс равный единице – корень уравнения.
Если икс равен нулю, то квадратный корень из минус единицы не определен.
Значит, икс равный нулю – посторонний корень.

пять икс плюс два больше нуля.
Решаем неравенство методом интервалов. Для

Теперь приступим к поиску корней уравнения.
Учитывая, что три равно логарифму восьми по основанию два, запишем уравнение в следующем виде: логарифм выражения икс квадрат плюс пять икс плюс два по основанию два равно логарифму восьми по основанию два. Потенцируем уравнение, получим и решим квадратное уравнение.
Дискриминант равен сорока девяти.
Вычисляем корни:
икс первое равно минус шести; икс второе равно единице.
Проверка
Минус шесть принадлежит ОДЗ, единица принадлежит ОДЗ, значит, оба числа являются корнями уравнения.

на множители g(х)[f(х) – g(х)] = 0;
получить два уравнения h(х)=0;

1;
х1 = 1, х2 = –1.
2 способ.
х3 – х =

х(х2 – 1) = 0;

х1=0, х2=1, х3= –1.

При решении 1 способом мы потеряли один корень, х = 0.

к потере корней.

= 100;
х1 = 10, х2= –10.
2 способ.
2 lg х =

lg х = 1;

х = 10.

lg х2 = 2 lg |х|