Теория ошибок

зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей

ее точность.
Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.
На практике не следует производить измерения с наибольшей достижимой точностью, так как повышение точности измерений ведет к удорожанию измерительных работ, поэтому точность измерений должна соответствовать поставленной задаче.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

получения наиболее точного значения измеряемой величины и характеристик ее точности

занимается теория ошибок измерений. Излагаемые в ней методы решения задач позволяют рассчитать необходимую точность предстоящих измерений и на основании этого расчета выбрать соответствующие приборы и технологию измерений, а после производства измерений получить наилучшие их результаты и оценить их точность. Математической основой теории погрешностей измерений являются теория вероятностей и математическая статистика.
В зависимости от условий измерения могут быть равноточными и неравноточными.
Измерения называются равноточными, если в процессе измерений сохраняются неизменными следующие факторы:
объект измерения;
субъект измерения (наблюдатель);
мерный прибор;
метод измерения;
внешняя среда.
Если изменяется хотя бы одно из 5 условий, то производимые наблюдения будут неравноточными.

действие элементарных ошибок образует ошибку результата измерений.
Различают три основных вида

ошибок:
грубые;
систематические;
случайные.
Грубые ошибки резко отклоняют результаты измерений от истинного значения измеряемой величины. Это в основном промахи и просчеты исполнителя. Грубые погрешности обнаруживают путем повторения измерения и сравнения их результатов. Если расхождения между результатами превосходят заданный допуск, то эти измерения выбраковывают и производят заново.
Систематические ошибки входят в каждый результат измерений по определенному закону, однообразно повторяются в многократных измерениях. Систематические погрешности удается исключить или свести их до минимума тщательной проверкой измерительных приборов, применением соответствующей методики измерений , а также введением поправок в результаты измерений.

каждый отдельный результат измерения остается неизвестным. Закономерности случайных ошибок проявляются

в массе, то есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Случайные ошибки подчинены определенным вероятностным закономерностям, изучение которых дает возможность получить наиболее надежный результат и оценить его точность. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.
В дальнейшем будем считать, что результаты измерений свободны от влияния грубых и систематических ошибок (они исключены из результатов измерений или ослаблены до минимума) и содержат только случайные ошибки.
Случайной (истинной) ошибкой Δ называют разность между измеренным значением величины l и её истинным значением Х:
Δ = l - Х

по абсолютной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной

ошибкой. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые погрешности.
2. Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей.
3. Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений.
4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно математически записать так:

где [Δ] - знак суммы, т.е.

, n — число измерений.

распределения Гаусса, графическое изображение которого представлено на рисунке.
Кривая нормального распределения

случайных погрешностей Гаусса

Кривая, изображающая плотность распределения вероятности по нормальному закону, определяется зависимостью f(Δ) вероятности ошибок и аргумента функции, т.е. случайной погрешности измерения — ∞ < Δ < + ∞.
Кривая нормального распределения симметрична относительно оси, проходящей через точку., в которой находится максимум кривой. 

измерений одной и той же величины результата наиболее близкого к

её истинному значению. Таким результатом является среднее арифметическое из измеренных значений данной величины.
Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то есть,

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:

Величина                                 
называется средним арифметическим или простой арифметической серединой.
Запишем (2) в виде

(1)

(2)

(3)

(4)

можно написать:


что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая

арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины.
А при ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины. Это позволяет при любом числе измерений, если n>1, принимать арифметическую средину за окончательное значение измеренной величины. Точность окончательного результата тем выше, чем больше n.

Средняя квадратическая , предельная и относительная ошибки

Средняя квадратическая ошибка m введена в теорию ошибок для характеристики точности отдельного измерения

(5)

когда известно истинное значение измеряемой величины Х. Такие случаи в

практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению, — арифметическую середину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

(2)

где δi = li – Xo
— отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятнейшими ошибками, причем [δ] = 0.
Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины определяется по формуле

(3)

где т — средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам (1) или (2).

величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел,

называемый предельной ошибкой. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.
В качестве предельной ошибки Δпр для данного вида измерений принимается утроенная средняя квадратическая ошибка
Δпр=3m.
При более ответственных измерениях для повышения требований точности измерений принимают
Δпр=2m.
Ошибки измерений величины которых превосходят Δпр считают грубыми.

величину измеряют дважды — в прямом и обратном направлениях, например,

длину линий, превышения между точкам. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения:

а среднего результата из двух измерений:

где d — разность двукратно измеренных величин; n — число разностей (двойных измерений).

только по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, но

и по величине относительной погрешности.
Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины.
Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух - трех значащих цифр с нулями.
Δотн = тl /l =1/(l / тl ),
где l - значение измеряемой величины.
Относительная предельная ошибка:
Δотн. пр. = Δпр / l, где Δпр = 2(3)m

Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110 м при тl = 2 см равна тl /l = 1/5500, а относительная предельная погрешность при Δпр = 3m = 6 см, Δпр /l= 1/1800.

значение длины линии и оценить точность выполненных измерений.
Δ пр

=12см

δi = li – Xo

- уклонение отдельных значений измеренной величины от арифметической середины

- ско отдельного измерения (формула Бесселя)

- ско арифметической середины

Δотн = тl /l =1/(l / тl ) – относительная ошибка отдельного измерения

Δпр= 3m – предельная ошибка