ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

игра, в которой сознательный игрок A (статистик) выступает против участника,

совершенно безразличного к результату игры, называемого природой.
Стратегиями природы являются ее возможные состояния, которые реализуются случайным образом.
Относительно этих состояний можно сделать n предположений П1, …, Пn. Эти предположения будем рассматривать как стратегии природы.
Игрок A имеет в своем распоряжении m стратегий А1,…,Аm. Выигрыш (проигрыш) игрока A при выборе им стратегии Аi в ответ на стратегию Пi равен аij и задан в виде платежной матрицы m×n.
Определить стратегию A, обеспечивающую
максимальный выигрыш (минимальный проигрыш).

из платежной матрицы.
2. Если аij < akl, то это не

значит, что стратегия Аi выгоднее Аk, а возможно, что состояние Пj благоприятнее Пl.
3. Наряду с матрицей платежей А часто используется матрица рисков R.
Риском rij игрока A при использовании им стратегии Аi в условиях Пj называется разность между максимально возможным выигрышем в условиях Пj и выигрышем, если в этих же условиях применить стратегию Аi

Если А - матрица потерь

Если А - матрица выигрыша

а24 = 3, однако они не равноценны. В условиях П1

стратегия А2 почти оптимальна (риск = 1), а в условиях П4 далеко нет (риск = 6).

при одной желательно получить max выигрыш (min проигрыш), при другой

– min риск.

Применяются следующие критерии:
– Критерий Байеса.
– Критерий недостаточного основания Лапласа.
– Максиминный критерий Вальда.
– Критерий минимаксного риска Сэвиджа.
– Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

должны быть известны вероятности, с которыми система (окружающая среда) находится

в каждом из своих состояний S1, S2, …, Sn. Обозначим эти вероятности соответственно p1, p2, …, pn (j = 1, …, n)

Информация о вероятностях состояний окружающей среды может быть известна. Оптимальным можно считать такое поведение игрока А, при котором максимизируется его средний выигрыш (минимизируется средний проигрыш).

А - матрица выигрышей
Если А - матрица потерь
эта же стратегия

всегда обеспечивает и минимальный средний риск:

равновероятными
то можно пользоваться критерием Лапласа:
А - матрица выигрышей
А -

матрица потерь

клиентов в предстоящие праздники. Точное число клиентов неизвестно, но ожидается,

что оно может принять одно из 4-х значений: 200, 250, 300, 350. Для каждого из этих значений рассчитаны затраты, обеспечивающие наилучший уровень предложения. Отклонения от этих значений влечет за собой дополнительные затраты либо из-за превышения спроса над предложением, либо наоборот. Потери в тыс. определяются матрицей. Определить наилучший уровень предложения.

значение затрат
По критерию Лапласа наилучший уровень предложения А2, т.е. 250

клиентов

с разумным, причем агрессивным противником
Оптимальной считается стратегия, обеспечивающая максимальный

выигрыш в наихудших условиях (минимальный проигрыш)

Оптимальной является стратегия А3 (300 клиентов). Ориентируясь на нее, мы потеряем не более 21 тыс.

обеспечивающую в наихудших условиях минимальный риск.

По критерию Сэвиджа оптимальна –

А2, т.е. 250 клиентов

азартного игрока), когда ставка делается на самый большой возможный выигрыш,

т.е. на самый большой элемент платежной матрицы:

Чаще применяется критерий «умеренного оптимизма», который называют критерием пессимизма-оптимизма Гурвица (а также критерием обобщенного максимума).

А – матрица выигрышей

– коэффициент пессимизма (чем больше значение , тем больше пессимизма)

крайнего оптимизма (максимальный выигрыш в наилучших условиях)
- нечто среднее между

тем и другим.

Коэффициент  выбирается из субъективных соображений: чем опаснее ситуация, тем ближе к 1 выбираем .

А – матрица потерь

5  0,5 = 15  min
23  0,5 + 7

 0,5 = 15  min
21  0,5 + 12  0,5 = 16,5
30  0,5 + 15  0,5 = 22,5

Оптимальной стратегией является либо А1 либо А2, для которых Н =15.

Если взять более оптимистичную  = 1/4. , то оптимальной стратегией будет А1 (Н = 10).

11,5
- по критерию Вальда – А3, потери 21
- по критерию

Сэвиджа – А2, риск 8
по критерию Гурвица при  = 1/2 – А2, А1, потери 15
при  = 1/4 – А1 потери 10.

Отсюда следует, что если руководствоваться не самыми пессимистичными прогнозами, то можно ориентироваться на А2, для более пессимистичного варианта – А3.
 

3 500 000 руб. на пошив мужских брюк

и костюмов, причем брюки ей обходятся в 1000 руб., а костюмы – в 2500. Реализация продукции будет происходить в мае по ценам: брюки – 2000 руб., костюмы – 4500 руб. По статистическим данным в мае можно продать в случае прохладной погоды 500 брюк и 1200 костюмов, в случае теплой погоды 600 костюмов и 2000 брюк. Непроданный товар дохода не приносит, учитывая расходы на хранение, переоценку и т.д.

КАК МАКСИМИЗИРОВАТЬ СРЕДНИЙ ДОХОД ФАБРИКИ?

4500 – 3 500 000 = 290  104 руб.
а12

= 500  2000 + 600  4500 – 3 500 000 = 20  104 руб.
а21 = 500  2000 + 600  4500 – 3 500 000 = 20  104 руб.
а22 = 2000  2000 + 600  4500 – 3 500 000 = 320  104 руб

Сэвиджа – А2.
Критерий Гурвица
(λ = 0,2) – А2
(λ =

0,5) – А2
(λ = 0,8) – А2

следующее значение: 100, 150, 200, 250, 300. Свежие булочки продаются

по 49 центов, если булочка не продана днем, то она будет реализована за 15 центов к концу дня. Затраты магазина на одну булочку 25 центов. Определить какое число булочек надо заказывать ежедневно.

Прибыль 49 – 25 = 24 (ц.)
Убыток 15 – 25 = -10 (ц.)

– 250 булочек
Критерий Гурвица (λ = 0,6) – 250 булочек

Критерий

Байеса

200 булочек

в праздничные дни. Точное число клиентов не известно, но предположительно

оно может быть: А1 - до 2-х тыс., А2 - от 2-х до 3-х тыс., А3 - от 3-х до 4-х тыс., А4 - от 4-х до 5-ти тыс.
Рассчитаны затраты, обеспечивающие перевозки пассажиров. Любые отклонения приводят к дополнительным затратам. Потери определяются матрицей. Определить наилучший уровень предложений.

Гурвица (λ = 0,5) – А1 и А2

подкараулить Стива возле его дома. Гарри знает, Что у Стива

есть сосед, который не подозревает о его проблемах, но не знает, что со Стивом в доме находится его друг Том. Гарри не знает как выглядит Стив и может вручить повестку либо первому выходящему из дома, либо второму. Если первым их дома выйдет Стив и Гарри вручит ему повестку, то Стив заплатит штраф 500 марок. Если первым выйдет Том, то Гарри получит премию 100 марок, т.к. Том преступник в розыске. Если повестку получит сосед, Гарри заплатит штраф 200 марок (моральный ущерб)

А1 – вручить 1 выходящему из дома
А2 – вручить 2 выходящему из дома