Теория вероятностей случайных событий

массовым случайным явлениям.
Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений.
Цель

– осуществление прогноза в области случайных явлений.
Возникновение – середина XVII века

П. Ферма (1601- 1665)
Х. Гюйгенс (1629-1695); Я. Бернулли (1654-1705)
А. Муавр

(1667-1754); П.Лаплас (1749-1827)
К. Гаусс (1777-1855); С. Пуассон (1781-1840)
В.Я. Буняковский (1821-1894);
П.Л. Чебышев (1821-1894); А.М. Ляпунов (1857-1918);
А. Марков (1856-1918); Е. Слуцкий (1880-1948);
А. Хинчин (1894-1959); А. Колмогоров (1903-1987)
Б. Гнеденко (1912-1995) и другие.

событие может произойти.
Пример: нагревание воды до 100 градусов, подбрасывание

монеты или игральной кости, извлечение шара из урны с шарами и т.д.
Событие-результат испытания может быть:
а) случайное – может произойти, а может и не произойти;
б) достоверное – произойдёт обязательно при данном испытании;
в) невозможное - никогда не произойдёт при данном испытании.
Пример: «выпало число 6 на игральной кости» - случайное событие; «извлекли белый шар из урны с белыми шарами»-достоверное событие; «извлекли белый шар из урны с синими шарами» - невозможное событие.

– не могут произойти вместе. Пример: события А = «попал

по мишени 1-й стрелок» и В = «попал по мишени 2-й стрелок» при одновременной стрельбе двух стрелков – совместные события; а события Е = «выпало 5 очков» и М= «выпало 6 очков» при одном подбрасывании игральной кости – несовместное событие.
Равновозможные события – события, для которых нет оснований полагать, что одно из них более возможно, чем другое.
Пример: события «на игральной кости выпало число 6» и «на игральной кости выпало число 1» - равновозможные события (исходя из предположения о симметричности кости).

или нескольких событий.
Пример: D= «на игральной кости выпало 3 очка»

- элементарное событие; F= «на игральной кости выпало более 3-х очков» можно представить в виде суммы трёх событий: «выпало 4 очка», «выпало 5 очков», «выпало 6 очков» - F не является элементарным событием.
. Событие А благоприятно событию В, если всегда, когда произойдёт А, произойдёт В.
Пример: событие «выпало 6 очков на игральной кости» благоприятно событию «выпало чётное число очков».

произойти при данном испытании (обязательно произойдёт только одно из этих

событий).
Пример: если на заочном отделении факультета учатся студены только из трёх городов, то события А= «контрольная работа пришла из 1-го города», В=«контрольная работа пришла из 2-го города», С =«контрольная работа пришла из 3-го города» образуют полную группу.
Противоположные события - несовместные события, такие, что если одно из них не произошло, то обязательно произойдёт другое.
образуют полную группу событий.
Пример: А = «хотя бы один спортсмен команды занял призовое место», тогда = «ни один спортсмен команды не занял призовое место». 

классическая вероятность события А,
n – число равновозможных, элементарных, несовместных

событий (исходов), которые могут произойти при данном испытании;
m – число событий, благоприятных событию А (из n)

А появилось в них m раз.
Тогда отношение

- частота события А.
При увеличении количества испытаний n ,

стремится к числу p,

где p – статистическая вероятность события А

заключается в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пример. Суммой

событий А= «на игральной кости выпало меньше 3 очков» и В= «на игральной кости выпало 2 или 3 очка» будет событие «на игральной кости выпало меньше 4 очков»
Произведение двух или нескольких событий- это событие, которое заключается в появлении всех данных событий вместе.
Пример. Призведением событий А= «на игральной кости выпало меньше 3 очков» и В= «на игральной кости выпало 2 или 3 очка» будет событие «на игральной кости выпало 2 очка»

вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.
 


Т1.2. Если А и

В – несовместные, то
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

тогда…



Следствие 2.
Если

- противоположные события, то

произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого,

при условии, что первое уже произошло.


Для нескольких попарно зависимых событий А1,А2,…Аn


Т2.2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей

с одним из несовместных событий H1,H2,...Hn. Тогда вероятность события А

находится по формуле:


Пусть событие А уже произошло, тогда вероятность того, что появилось событие Нi, где i=1,2,3,…n, равна…



где P(A) можно найти по формуле полной вероятности

каждом из испытаний может появиться с вероятностью p, и не

появиться с вероятностью q=1-p.
Тогда вероятность того, что событие А появится m раз из n находится по формуле