Теория вероятностей

Содержание

1. Теория вероятностей
2. Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
3. СодержаниеФормула полной вероятностиФормула БайесаФормула Бернулли© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
4. Основные формулы теории вероятностейКак правило, реальные случайные
5. НапоминаниеТеорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/A) или P(AB)=P(B)∙P(A/B) Следствие.
6. Формула полной вероятностиПусть событие А может
7. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерВ магазин
8. Формула полной вероятностиТак как событие А
9. Формула полной вероятности Р(А)= © И.Р.Тимошина
10. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерВычислим вероятность
11. Формула БайесаПусть событие А может произойти только
12. Формула БайесаПо теореме умножения Р(А∙Bi)=Р(Вi)∙РВi (А)=Р(А)∙PA (Bi)⇒
13. Формула Байеса © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые
14. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерПусть в
15. Формула БернуллиПусть производится n последовательных независимых испытаний,
16. ПримерНа соревнованиях по стрельбе четыре спортсмена стреляют
17. РешениеВ условиях задачи P(B)= P4(3).Интересующее нас событие
18. Формула Бернулли© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
19. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на
20. Скачать презентанцию

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .Тимошина И.Р. Электронный конспект

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007.

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман

Слайд 3Содержание
Формула полной вероятности
Формула Байеса
Формула Бернулли

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 4Основные формулы теории вероятностей
Как правило, реальные случайные события зависят от каких-то

других событий или являются их комбинацией.
Основной задачей ТВ является

нахождение формул, правил, на основании которых возможно оценить вероятность интересующих событий.

Основные формулы теории вероятностейКак правило, реальные случайные события зависят от каких-то других событий или являются их комбинацией.

Слайд 5Напоминание
Теорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/A) или P(AB)=P(B)∙P(A/B) Следствие. Если события независимые, то P(AB)=P(A)∙P (B)

Теорема (сложения вероятностей). P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) Следствие. Если события несовместные, то P(A+B)=P(A)+P (B)

НапоминаниеТеорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/A) или P(AB)=P(B)∙P(A/B) Следствие. Если события независимые, то P(AB)=P(A)∙P (B) Теорема (сложения вероятностей).

Слайд 6Формула полной вероятности
Пусть событие А может произойти только вместе с

каким-либо из событий В1, В2 , В3 ,..., Вn, которые

в свою очередь образуют полную группу несовместных событий. При этом известны вероятности P(Bi) и P(A/Bi). Требуется найти вероятность события А.
Приведённые условия описывают целый класс практических задач, для решения которых получена общая формула.
К примеру,

Формула полной вероятностиПусть событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий В1, В2 ,

Слайд 7© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Пример
В магазин поступает одна и та

же продукция от трёх предприятий. От первого20 изделий, от второго10, от

третьего70. Вероятности некачественного изготовления изделия на предприятиях соответственно равны: 0,02; 0,03; 0,05. Определить вероятность получения некачественного изделия.

Обозначения Асобытиеизделие некачественное; В1событиеизделие с 1-го предприятия; В2событиеизделие со 2-го предприятия; В3событиеизделие с 3-го предприятия. По условию: P(A/В1)=0,02; P(A/В2)=0,03; P(A/В3)=0,05.
Из условий задачи получим: P(B1)=10/100=0,1; P(B2)=20/100=0,2; P(B3)=70/100=0,7. P(A)  ?

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерВ магазин поступает одна и та же продукция от трёх предприятий.

Слайд 8Формула полной вероятности
Так как событие А может произойти только вместе

с каким-либо из событий В1, В2 , В3 ,..., Вn,

которые в свою очередь образуют полную группу несовместных событий, то А=(А∙В1) + (А∙В2) + … + (А∙Вn).
Применим теоремы сложения и умножения вероятностей: Р(А)=Р(А∙В1)+Р(А∙В2)+… +Р(А∙Вn)= Р(В1)∙Р (А/В1)+Р(В2)∙Р(А/В2)+… +Р(Вn)∙Р(А/ Вn)= =

Формула полной вероятностиТак как событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий В1, В2

Слайд 9Формула полной вероятности
Р(А)=

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Замечание. События В1, В2

, В3 ,..., Вn называются гипотезами.

Формула полной вероятности Р(А)= © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Замечание. События В1, В2 , В3 ,...,

Слайд 10© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Пример
Вычислим вероятность получения некачественного изделия в

условиях предыдущего примера.
Решение. Р(А)= =Р(В1)∙Р(А/В1)+Р(В2)∙РВ2 (А/В2)+ +Р(В3)∙Р(А/В3)= =0,1∙0,02+0,2∙0,03+0,7∙0,05= =0,043

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерВычислим вероятность получения некачественного изделия в условиях предыдущего примера. Решение. Р(А)= =Р(В1)∙Р(А/В1)+Р(В2)∙РВ2

Слайд 11Формула Байеса
Пусть событие А может произойти только вместе с каким-либо

из событий В1, В2 , В3 ,..., Вn, которые в

свою очередь образуют полную группу несовместных событий. При этом известны вероятности P(Bi) и P(A/Bi).
Требуется найти вероятность события Bi, если известно, что событие А уже произошло PA (Bi) (т.е. произвести количественную переоценку вероятностей в новых условиях).
Выведем формулу для решения этой задачи.

Формула БайесаПусть событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий В1, В2 , В3 ,...,

Слайд 12Формула Байеса
По теореме умножения Р(А∙Bi)=Р(Вi)∙РВi (А)=Р(А)∙PA (Bi)⇒ Р(А)∙PA (Bi) =Р(Вi)∙РВi (А) ⇒ PA

(Bi)=Р(Вi)∙РВi (А) / Р(А) ⇒

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Формула БайесаПо теореме умножения Р(А∙Bi)=Р(Вi)∙РВi (А)=Р(А)∙PA (Bi)⇒ Р(А)∙PA (Bi) =Р(Вi)∙РВi (А) ⇒ PA (Bi)=Р(Вi)∙РВi (А)

Слайд 13Формула Байеса
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Замечания. 1.События В1, В2 ,

В3 ,..., Вn называются гипотезами. Формула Байеса позволяет пересчитать вероятности гипотез

после проведения опыта.
2. Вероятность P(Bi) называют априорной (до опыта).
3. Вероятность P(Bi/A) называют апостериорной (после опыта).

Формула Байеса © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Замечания. 1.События В1, В2 , В3 ,..., Вn называются гипотезами.

Слайд 14© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Пример
Пусть в условиях примера о поступлении

товаров в магазин событие А произошло, т.е. взятое изделие оказалось

некачественным.
Было сделано предположение, что это изделие изготовлено на первом предприятии.
Какова вероятность события: некачественное изделие было изготовлено на первом предприятии.

Решение. По формуле Байеса P(B1/A)=(0,1∙0,02)/0,043≈0,046

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерПусть в условиях примера о поступлении товаров в магазин событие А произошло,

Слайд 15Формула Бернулли
Пусть производится n последовательных независимых испытаний, причём вероятность наступления

события А в каждом испытании неизменна и равна p, а

вероятность того, что событие А не наступит, равна q=1-p.
Требуется найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А произойдёт m раз (и, соответственно n- m раз на произойдёт).
Приведённые условия также описывают целый класс задач, для решения которых получена общая формула.
К примеру,

Формула БернуллиПусть производится n последовательных независимых испытаний, причём вероятность наступления события А в каждом испытании неизменна и

Слайд 16Пример
На соревнованиях по стрельбе четыре спортсмена стреляют по цели. Вероятность

попадания у каждого спортсмена равна 0,9.
Найти вероятность того, что цель

будет поражена три раза.

Обозначения
Асобытиеспортсмен попал в цель; Bсобытиецель будет поражена три раза.
p=P(A)=0,9; q=P(Ā)=0,1вероятность того, что спортсмен не попал в цель; n=4количество испытаний; m=3количество испытаний, в которых событие А произошло; Pn(m)  вероятность того, что в серии из n испытаний событие произошло m раз.

ПримерНа соревнованиях по стрельбе четыре спортсмена стреляют по цели. Вероятность попадания у каждого спортсмена равна 0,9.Найти вероятность

Слайд 17Решение
В условиях задачи P(B)= P4(3).
Интересующее нас событие B может произойти

при следующих результатах стрельбы: AAAĀ; AAĀA; AĀAA; ĀAAA. Поэтому B=AAAĀ+AAĀA+AĀAA+ĀAAA.
По теоремам сложения

и умножения вероятностей: P(B)=P(AAAĀ) + P(AAĀA) + P(AĀAA) + P(ĀAAB)= =p∙p∙p∙q+p∙p∙q∙p+p∙q∙p∙p+q∙p∙p∙p=4∙p3∙q.
Заметим, что количество слагаемых равно количеству вариантов, при которых из четырёх элементов выбирают три, т.е. числу сочетаний
P(B)=

РешениеВ условиях задачи P(B)= P4(3).Интересующее нас событие B может произойти при следующих результатах стрельбы: AAAĀ; AAĀA; AĀAA;

Формула Бернулли© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность того,

что среди 5 отобранных деталей бракованных окажется не более двух.
Обозначения. Всобытиесреди 5 деталей бракованных окажется не более двух; А1событиесреди 5 деталей одна бракованная; А2событиесреди 5 деталей две бракованные.

Решение.
P(В) = P(А1)+P(А2)=P5(1)+P5(2) P(В)=0,4096+0,2048=0,6144

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Теория вероятностей

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностейЛекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Слайд 3СодержаниеФормула полной вероятностиФормула БайесаФормула Бернулли© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 4Основные формулы теории вероятностейКак правило, реальные случайные события зависят от каких-то

других событий или являются их комбинацией. Основной задачей ТВ является

Слайд 5НапоминаниеТеорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/A) или P(AB)=P(B)∙P(A/B) Следствие. Если события независимые, то P(AB)=P(A)∙P (B)

Теорема (сложения вероятностей). P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) Следствие. Если события несовместные, то P(A+B)=P(A)+P (B)

Слайд 6Формула полной вероятностиПусть событие А может произойти только вместе с

каким-либо из событий В1, В2 , В3 ,..., Вn, которые

Слайд 7© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерВ магазин поступает одна и та

же продукция от трёх предприятий. От первого20 изделий, от второго10, от

Слайд 8Формула полной вероятностиТак как событие А может произойти только вместе

с каким-либо из событий В1, В2 , В3 ,..., Вn,

Слайд 9Формула полной вероятности Р(А)= © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Замечание. События В1, В2

, В3 ,..., Вn называются гипотезами.

Слайд 10© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерВычислим вероятность получения некачественного изделия в

условиях предыдущего примера. Решение. Р(А)= =Р(В1)∙Р(А/В1)+Р(В2)∙РВ2 (А/В2)+ +Р(В3)∙Р(А/В3)= =0,1∙0,02+0,2∙0,03+0,7∙0,05= =0,043

Слайд 11Формула БайесаПусть событие А может произойти только вместе с каким-либо

из событий В1, В2 , В3 ,..., Вn, которые в

Слайд 12Формула БайесаПо теореме умножения Р(А∙Bi)=Р(Вi)∙РВi (А)=Р(А)∙PA (Bi)⇒ Р(А)∙PA (Bi) =Р(Вi)∙РВi (А) ⇒ PA

(Bi)=Р(Вi)∙РВi (А) / Р(А) ⇒ © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 13Формула Байеса © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Замечания. 1.События В1, В2 ,

В3 ,..., Вn называются гипотезами. Формула Байеса позволяет пересчитать вероятности гипотез

Слайд 14© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»ПримерПусть в условиях примера о поступлении

товаров в магазин событие А произошло, т.е. взятое изделие оказалось

Слайд 15Формула БернуллиПусть производится n последовательных независимых испытаний, причём вероятность наступления

события А в каждом испытании неизменна и равна p, а

Слайд 16ПримерНа соревнованиях по стрельбе четыре спортсмена стреляют по цели. Вероятность

попадания у каждого спортсмена равна 0,9.Найти вероятность того, что цель

Слайд 17РешениеВ условиях задачи P(B)= P4(3).Интересующее нас событие B может произойти

при следующих результатах стрельбы: AAAĀ; AAĀA; AĀAA; ĀAAA. Поэтому B=AAAĀ+AAĀA+AĀAA+ĀAAA.По теоремам сложения

Слайд 18Формула Бернулли© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 19© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Вероятность изготовления