Теория вероятностей

Содержание

1. Теория вероятностей
2. Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
3. СодержаниеЧисловые характеристики случайных величинДействия над случайными величинамиМатематическое
4. НапоминаниеНекоторые законы распределения дискретной случайной величиныБиноминальный закон:
5. Действия над случайными величинамиПроизведение CX случайной величины
6. Действия над случайными величинамиПроизведением XY двух независимых
7. Действия над случайными величинамиЗаметим, что некоторые произведения
8. Действия над случайными величинамиСуммой случайных величин X+Y
9. Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Задан закон распределения
10. Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»б) Возможные значения
11. Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Даны законы распределения
12. Числовые характеристики случайных величинЗакон распределения полностью характеризует
13. Математическое ожиданиеОдна из важнейших числовых характеристик –
14. Математическое ожидание дискретной величиныМатематическим ожиданием дискретной случайной
15. Математическое ожидание дискретной величиныТогда математическое ожидание M(X)
16. Математическое ожидание дискретной величиныЕсли дискретная величина принимает
17. Статистический смысл математического ожиданияПусть произведено n испытаний,
18. Статистический смысл математического ожиданияНайдём среднее арифметическое
19. Статистический смысл математического ожиданияЗаметив, что относительные частоты
20. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория
21. Свойства математического ожиданияМатематическое ожидание постоянной величины C
22. Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Производится два
23. Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Производится два
24. Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Производится три
25. Биноминальный закон распределения Пусть производится n
26. Биноминальный закон распределения И.Р.Тимошина Электронные презентации
27. Скачать презентанцию

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .Тимошина И.Р. Электронный конспект

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман

Слайд 3Содержание
Числовые характеристики случайных величин
Действия над случайными величинами
Математическое ожидание дискретной случайной

величины
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание величины, распределённой по закону Бернулли
И.Р.Тимошина Электронные

презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

СодержаниеЧисловые характеристики случайных величинДействия над случайными величинамиМатематическое ожидание дискретной случайной величиныСвойства математического ожиданияМатематическое ожидание величины, распределённой по

Слайд 4Напоминание
Некоторые законы распределения дискретной случайной величины
Биноминальный закон: значения X
0,

1, 2,…,n
Геометрический закон: значения X
1, 2,…,n
Закон распределения Пуассона: значения

X
0, 2,…,n,…

НапоминаниеНекоторые законы распределения дискретной случайной величиныБиноминальный закон: значения X 0, 1, 2,…,nГеометрический закон: значения X1, 2,…,n Закон

Слайд 5Действия над случайными величинами
Произведение CX случайной величины X на число

С− случайная величина, возможные значения которой равны произведениям возможных значений

величины X на число С, а вероятности возможных значений не изменились.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Действия над случайными величинамиПроизведение CX случайной величины X на число С− случайная величина, возможные значения которой равны

Слайд 6Действия над случайными величинами
Произведением XY двух независимых случайных величин X

и Y будем называть случайную величину, возможные значения которой равны

произведениям возможных значений xi yj, а вероятность значения равна pi qj, если pi - вероятность значения xi, а qj - вероятность значения yj.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Действия над случайными величинамиПроизведением XY двух независимых случайных величин X и Y будем называть случайную величину, возможные

Слайд 7Действия над случайными величинами
Заметим, что некоторые произведения могут оказаться равными

между собой. В этом случае соответствующие вероятности нужно сложить.

И.Р.Тимошина Электронные

презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Действия над случайными величинамиЗаметим, что некоторые произведения могут оказаться равными между собой. В этом случае соответствующие вероятности

Слайд 8Действия над случайными величинами
Суммой случайных величин X+Y будем называть случайную

величину, значения которой равны суммам значений величин xi +yj. Если

величины xi и yj независимы, то вероятность значения xi +yj равна pi + qj. Заметим, что некоторые суммы могут оказаться равными между собой. В этом случае соответствующие вероятности нужно сложить.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Действия над случайными величинамиСуммой случайных величин X+Y будем называть случайную величину, значения которой равны суммам значений величин

Слайд 9Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Задан закон распределения случайной величины X

:
Найти законы распределения величин: а) Y=3X; б) Z=X2 Решение.
а) Закон распределения

случайной величины Y=3X:

Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Задан закон распределения случайной величины X : Найти законы распределения величин:

Слайд 10Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
б) Возможные значения величины Z=X2: (-2)2=4;

12=1;
22=4. Так как значение 4 один раз получено с
вероятностью 0,5,

а второй раз с вероятностью 0,3, то…

Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»б) Возможные значения величины Z=X2: (-2)2=4; 12=1;22=4. Так как значение 4 один раз

Слайд 11Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Даны законы распределения двух независимых величин

X и Y:
Найти законы распределения величин: а) Z=X-Y; б)

U=XY Решение. а) Возможные значения величины Z=X-Y: 2; 0; -2; 4; 2; 0; 6; 4; 2 с вероятностями: 0,05; 0,3; 0,15; 0,03; 0,18; 0,09; 0,02; 0,12; 0,06

Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Даны законы распределения двух независимых величин X и Y: Найти законы

Слайд 12Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако

зачастую закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями.
Существует

ряд числовых характеристик, которые лишь частично описывают некоторые свойства случайных величин.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Числовые характеристики случайных величинЗакон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако зачастую закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться

Слайд 13Математическое ожидание
Одна из важнейших числовых характеристик – математическое ожидание.
Математическое

ожидание приближённо равно среднему значению случайной величины. Хотя математическое ожидание

даёт о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон распределения. Но для решения ряда задач знание математического ожидания оказывается достаточным.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Математическое ожиданиеОдна из важнейших числовых характеристик – математическое ожидание. Математическое ожидание приближённо равно среднему значению случайной величины.

Слайд 14Математическое ожидание дискретной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма

произведений всех её возможных значений на их вероятности.
Пусть X

случайная величина может принимать только значения x1, x2, …,xn вероятности которых соответственно равны p1, p2, …,pn .

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Математическое ожидание дискретной величиныМатематическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на их

Слайд 15Математическое ожидание дискретной величины
Тогда математическое ожидание M(X) случайной величины определяется

равенством
И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Математическое ожидание дискретной величиныТогда математическое ожидание M(X) случайной величины определяется равенствомИ.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория

Слайд 16Математическое ожидание дискретной величины
Если дискретная величина принимает счётное множество значений,

то
И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Математическое ожидание дискретной величиныЕсли дискретная величина принимает счётное множество значений, то И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме

Слайд 17Статистический смысл математического ожидания
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная

величина приняла m1 раз значение x1, m2 раз значение x2,…,

mn раз значение xn. Тогда сумма всех значений, которые принимала величина X равна:

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Статистический смысл математического ожиданияПусть произведено n испытаний, в которых случайная величина приняла m1 раз значение x1, m2

Слайд 18Статистический смысл математического ожидания
Найдём среднее арифметическое всех

значений, принятых случайной величиной:
И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме

«Теория вероятностей»

Статистический смысл математического ожиданияНайдём среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной: И.Р.Тимошина Электронные презентации

Слайд 19Статистический смысл математического ожидания
Заметив, что относительные частоты событий при большом

числе испытаний приблизительно равны вероятностям событий, т.е.

, получим
Математическое ожидание приблизительно равно среднему значению наблюдаемой величины.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Статистический смысл математического ожиданияЗаметив, что относительные частоты событий при большом числе испытаний приблизительно равны вероятностям событий, т.е.

Слайд 20И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример.

Найти

математическое ожидание числа появлений события в одном испытании, если вероятность

этого события равна p.
Решение. Случайная величина X - число появлений события в одном испытании может принимать только два значения: x1=1 с вероятностью p и x2=0 с вероятностью q=1- p.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» Пример. Найти математическое ожидание числа появлений события в

Слайд 21Свойства математического ожидания
Математическое ожидание постоянной величины C равно самой этой

величине: M(C)=C.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=C·M(X).
M(XY)=M(X)·M(Y),

если X и Y независимые случайные величины.
M(X+Y)=M(X)+M(Y).

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Свойства математического ожиданияМатематическое ожидание постоянной величины C равно самой этой величине: M(C)=C.Постоянный множитель можно выносить за знак

в цель, равными: p1=0,4; p2=0,3. Найти математическое ожидание общего

числа попаданий.

Решение. Способ 1. Составим законы распределения величин X1, X2 и X=X1+X2:

M(X) =0,46+0,24=0,7

Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Производится два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными:

в цель, равными: p1=0,4; p2=0,3. Найти математическое ожидание общего

числа попаданий.

Решение. Способ 2. Пусть X1 , X2 - случайные величины, равные числу попаданий при первом выстреле соответственно.
Ранее мы показали, что M(X1)=0,4; M(X2)=0,3. Общее число попаданий при двух выстрелах тоже случайная величина X=X1+ X2. По свойству математического ожидания M(X) =0,4+0,3=0,7.

в цель, равными: p1=0,4; p2=0,3; p3=0,6. Найти математическое ожидание

общего числа попаданий.

Решение. Пусть X1 , X2, X3, - случайные величины, равные числу попаданий при первом выстреле соответственно.
Ранее мы показали, что M(X1)=0,4; M(X2)=0,3; M(X3)=0,6. Общее число попаданий при трёх выстрелах тоже случайная величина X=X1+ X2+X3. По свойству математического ожидания M(X) =0,4+0,3+ 0,6=1,3.

Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными:

Слайд 25Биноминальный закон распределения
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом

из которых вероятность появления события A равна p. Пусть X

- случайная величина, равная числу появлений события в этих независимых испытаний. Ранее мы показали, что эта величина имеет биноминальный закон распределения. Очевидно, что X=X1+X2+…+Xn, где Xiчисло попаданий при одном выстреле. Тогда M(X)=np.

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Биноминальный закон распределения Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A

Слайд 26Биноминальный закон распределения
И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория

вероятностей»
Математическое ожидание величины, распределённой по биноминальному закону M(X)=np.

Биноминальный закон распределения И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» Математическое ожидание величины, распределённой

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Теория вероятностей

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностейЛекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Слайд 3СодержаниеЧисловые характеристики случайных величинДействия над случайными величинамиМатематическое ожидание дискретной случайной

величиныСвойства математического ожиданияМатематическое ожидание величины, распределённой по закону БернуллиИ.Р.Тимошина Электронные

Слайд 4НапоминаниеНекоторые законы распределения дискретной случайной величиныБиноминальный закон: значения X 0,

1, 2,…,nГеометрический закон: значения X1, 2,…,n Закон распределения Пуассона: значения

Слайд 5Действия над случайными величинамиПроизведение CX случайной величины X на число

С− случайная величина, возможные значения которой равны произведениям возможных значений

Слайд 6Действия над случайными величинамиПроизведением XY двух независимых случайных величин X

и Y будем называть случайную величину, возможные значения которой равны

Слайд 7Действия над случайными величинамиЗаметим, что некоторые произведения могут оказаться равными

между собой. В этом случае соответствующие вероятности нужно сложить.И.Р.Тимошина Электронные

Слайд 8Действия над случайными величинамиСуммой случайных величин X+Y будем называть случайную

величину, значения которой равны суммам значений величин xi +yj. Если

Слайд 9Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Задан закон распределения случайной величины X

: Найти законы распределения величин: а) Y=3X; б) Z=X2 Решение.а) Закон распределения

Слайд 10Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»б) Возможные значения величины Z=X2: (-2)2=4;

12=1;22=4. Так как значение 4 один раз получено свероятностью 0,5,

Слайд 11Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Даны законы распределения двух независимых величин

X и Y: Найти законы распределения величин: а) Z=X-Y; б)

Слайд 12Числовые характеристики случайных величинЗакон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако

зачастую закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Существует

Слайд 13Математическое ожиданиеОдна из важнейших числовых характеристик – математическое ожидание. Математическое

ожидание приближённо равно среднему значению случайной величины. Хотя математическое ожидание

Слайд 14Математическое ожидание дискретной величиныМатематическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма

произведений всех её возможных значений на их вероятности. Пусть X

Слайд 15Математическое ожидание дискретной величиныТогда математическое ожидание M(X) случайной величины определяется

равенствомИ.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Слайд 16Математическое ожидание дискретной величиныЕсли дискретная величина принимает счётное множество значений,

то И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Слайд 17Статистический смысл математического ожиданияПусть произведено n испытаний, в которых случайная

величина приняла m1 раз значение x1, m2 раз значение x2,…,

Слайд 18Статистический смысл математического ожиданияНайдём среднее арифметическое всех

значений, принятых случайной величиной: И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме

Слайд 19Статистический смысл математического ожиданияЗаметив, что относительные частоты событий при большом

числе испытаний приблизительно равны вероятностям событий, т.е.

Слайд 20И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» Пример. Найти

математическое ожидание числа появлений события в одном испытании, если вероятность

Слайд 21Свойства математического ожиданияМатематическое ожидание постоянной величины C равно самой этой

величине: M(C)=C.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=C·M(X).M(XY)=M(X)·M(Y),

Слайд 22Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Производится два выстрела с вероятностями попадания

в цель, равными: p1=0,4; p2=0,3. Найти математическое ожидание общего

Слайд 23Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Производится два выстрела с вероятностями попадания

в цель, равными: p1=0,4; p2=0,3. Найти математическое ожидание общего

Слайд 24Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Производится три выстрела с вероятностями попадания

в цель, равными: p1=0,4; p2=0,3; p3=0,6. Найти математическое ожидание

Слайд 25Биноминальный закон распределения Пусть производится n независимых испытаний, в каждом

из которых вероятность появления события A равна p. Пусть X

Слайд 26Биноминальный закон распределения И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория

вероятностей» Математическое ожидание величины, распределённой по биноминальному закону M(X)=np.

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Слайд 3Содержание
Числовые характеристики случайных величин
Действия над случайными величинами
Математическое ожидание дискретной случайной

величины
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание величины, распределённой по закону Бернулли
И.Р.Тимошина Электронные

Слайд 4Напоминание
Некоторые законы распределения дискретной случайной величины
Биноминальный закон: значения X
0,

1, 2,…,n
Геометрический закон: значения X
1, 2,…,n
Закон распределения Пуассона: значения

Слайд 5Действия над случайными величинами
Произведение CX случайной величины X на число

Слайд 6Действия над случайными величинами
Произведением XY двух независимых случайных величин X

Слайд 7Действия над случайными величинами
Заметим, что некоторые произведения могут оказаться равными

между собой. В этом случае соответствующие вероятности нужно сложить.

И.Р.Тимошина Электронные

Слайд 8Действия над случайными величинами
Суммой случайных величин X+Y будем называть случайную

Слайд 9Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Задан закон распределения случайной величины X

:
Найти законы распределения величин: а) Y=3X; б) Z=X2 Решение.
а) Закон распределения

Слайд 10Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
б) Возможные значения величины Z=X2: (-2)2=4;

12=1;
22=4. Так как значение 4 один раз получено с
вероятностью 0,5,

Слайд 11Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Даны законы распределения двух независимых величин

X и Y:
Найти законы распределения величин: а) Z=X-Y; б)

Слайд 12Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако

зачастую закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями.
Существует

Слайд 13Математическое ожидание
Одна из важнейших числовых характеристик – математическое ожидание.
Математическое

Слайд 14Математическое ожидание дискретной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма

произведений всех её возможных значений на их вероятности.
Пусть X

Слайд 15Математическое ожидание дискретной величины
Тогда математическое ожидание M(X) случайной величины определяется

равенством
И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Слайд 16Математическое ожидание дискретной величины
Если дискретная величина принимает счётное множество значений,

то
И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»

Слайд 17Статистический смысл математического ожидания
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная

Слайд 18Статистический смысл математического ожидания
Найдём среднее арифметическое всех

значений, принятых случайной величиной:
И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме

Слайд 19Статистический смысл математического ожидания
Заметив, что относительные частоты событий при большом

Слайд 20И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример.

Найти

Слайд 21Свойства математического ожидания
Математическое ожидание постоянной величины C равно самой этой

величине: M(C)=C.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=C·M(X).
M(XY)=M(X)·M(Y),

Слайд 22Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Производится два выстрела с вероятностями попадания

Слайд 23Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Производится два выстрела с вероятностями попадания

Слайд 24Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Производится три выстрела с вероятностями попадания

Слайд 25Биноминальный закон распределения
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом

Слайд 26Биноминальный закон распределения
И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория

вероятностей»
Математическое ожидание величины, распределённой по биноминальному закону M(X)=np.