Теория вероятностей

когда нечего сказать.

И. ЛАФАТЕР

окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1. Вероятность

события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.
Объединение событий А U В— событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А, В.
Пересечение событий А В событие, состоящие из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.
Противоположное событие. Событие А, состоящее из тех исходов опыта, которые не входят в А.
Несовместные события — события, которые не наступают в одном опыте. Например, противоположные события несовместны.

U

противоположных событий:
Формула сложения совместных вероятностей:
Формула сложения вероятностей для несовместных событий:

пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку.

Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Формула вероятности противоположного события:

Ответ: 0,9

экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная

окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий:                                                                                                                               .         .

Ответ: 0,35  

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3.

Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Формула сложения вероятностей:

Вероятность противоположного события:

быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите

вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

2 авт
1 авт

И
0,95

Н
0,05

Н
0,05

И
0,95

ИИ

ИН

НИ

НН

из точки по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу

выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G.

На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь

обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие — в поле F или в болото M. Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.

A наступает, то вероятность C события равна 0,2, а в

противоположном случае вероятность события C равна 0,4 . Найдите вероятность события C .

Эксперимент

А

А

0,3

0,7

С

С

0,2

0,8

С

С

0,4

0,6

выпускает 30% всех телефонов этой марки, а вторая — остальные

телефоны. Известно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабрикой, 1% имеют скрытые дефекты, а у выпускаемых второй фабрикой — 1,5%. Найдите вероятность того, что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Телефоны

А

А

0,3

0,7

0,01

0,99

Д

Д

0,015

0,985

1

2

Д

Д

яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из

второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц из этих двух хозяйств. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Яйца

А

А

х

1-х

0,4

0,6

В

В

0,2

0,8

1

2

В

В

имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок.

Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Фабрика

Контроль

0,9

0,1

0,2

0,8

В продажу

С дефектом

В продажу

Брак

«Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов

по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Матем и Рус. яз

Сдал общ

Не сдал общ

0,5

0,5

0,7

0,3

0,7

0,3

Сдал ин. яз

Не сдал ин. яз

Сдал ин. яз

Не сдал ин. яз

0,6

0,8

вероятность  того,  что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на  0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность  того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99мм или больше чем 67,01 мм.

автобус.  Вероятность,что  в  понедельник  в  автобусе  окажется  меньше  20  пассажиров, 

равна  0,94.Вероятность того,  что  окажется  меньше  15  пассажиров,  равна  0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет  от 15 до 19.

делают анализ крови. Если анализ выявляет  гепатит,  то  результат  анализа  называется положительным.  У  больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с  вероятностью  0,01. 

Известно,  что  5%  пациентов,  поступающих с  подозрением  на гепатит,  действительно  больны  гепатитом.  Найдите  вероятность  того,  что  результат анализа  у  пациента,  поступившего  в  клинику  с  подозрением  на  гепатит,  будет положительным.

Пациент

З

Б

0,95

0,05

0,99

0,01

Б

З

0,9

0,1

З

Б

какой‐то  момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того,  что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

0,06.  Покупатель  в магазине  выбирает  случайную  упаковку,  в  которой  две  таких 

батарейки.  Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

1бат / 2бат

И
0,94

Б
0,06

Б
0,06

И
0,94

ИИ

ИБ

БИ

ББ

Перед  упаковкой  каждая  батарейка  проходит систему  контроля.  Вероятность  того,  что  система 

забракует  неисправную  батарейку,ьравна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку,лравна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

Батарейка

И

Б

0,98

0,02

0,99

0,01

Б

И

0,99

0,01

И

Б

точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь,  по  которому  ещё  не  полз.  Считая  выбор  дальнейшего  пути 

случайным,определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

находится  в  первом,лвтором, третьем или четвертом ящике,  соответственно  равны 0,6;0,7;0,8;0,9.  Найти вероятности того, что эта деталь  находится не более, чем в трех ящиках.
я2
я1
Н
0,7
О
0,4
О
0,3
Н
0,6
НН
НО
ОН
ОО
я4
я3
Н
0,8
О
0,1
О
0,2
Н
0,9
НН
НО
ОН
ОО
я34
я1,2
НННН
НН
ОН
НО
ОО
НН
НО
ОН
ОО
НННО
ННОН
ННОО
ОННН
ОННО
ОНОН
ОНОО
НОНН
НОНО
НООН
НООО
ООНН
ООНО
ОООН
ОООО

того,    что  из  трех  взятых  деталей  2 окажется не бракованными.
д2
д1

И
0,8

Б
0,2

Б
0,2

И
0,8

ИИ

ИБ

БИ

ББ

д3
д1 д2

И
0,8

Б
0,2

ИИИ

ИИБ

БИИ

БИБ

ИБИ

ИББ

ББИ

БББ

ИИ

ИБ

БИ

ББ

Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат

округлите до сотых.

Задачи, решаемые с помощью построения таблиц

1кость
2кость

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

8

3

4

5

6

7

9

4

5

6

7

8

10

5

6

7

8

9

12

7

8

9

10

11

11

6

7

8

9

10

у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными,

то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

1игра / 2игра

Проигрыш
0,48

Проигрыш
0,7

Выигрыш
0,3

Выигрыш
0,52

ВП

ВВ

ПП

ПВ

= 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы

одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

р2
р1

П
0,7

М
0,2

М
0,3

П
0,8

ПП

ПМ

МП

ММ

р3
р1 р2

П
0,9

М
0,1

ППП

ППМ

ПМП

ПММ

МП

ММ

ПП

ПМ

МПП

МПМ

ММП

МММ

не может.  На  каждом разветвлении  паук выбирает  путь,  по  которому  ещё  не  полз.

Считая  выбор  дальнейшего  пути случайным,  определите,  с  какой вероятностью паук придёт к выходу А.

75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные

распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
0,16
ВАРИАНТ №7. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
0,225
ВАРИАНТ №8. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 13 участников из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Егоров будет играть с каким‐либо спортсменом из России?
0,48
ВАРИАНТ №9. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.
0,03
ВАРИАНТ №10. Случайно взятое натуральное число не больше 20. Какая вероятность, что оно будет иметь вид 4x+1, где x ‐ натуральное число.
0.2

выпускает 40% предохранителей, второй – 60%. Первый завод выпускает 4%

бракованных предохранителей, а второй – 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный предохранитель окажется бракованным.
0.034
ВАРИАНТ №12. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
0,5
ВАРИАНТ №13. Найти вероятность того, что при броске двух кубиков на обоих выпадет число, не большее 3.
0,25
ВАРИАНТ №14. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков
0,38
ВАРИАНТ №15. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза.
Найти вероятность двух осечек. Результат округлите до сотых.
0.07
ВАРИАНТ №16. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей? Результат округлите до сотых.
0,42

что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного

револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
0,56

0,28

в мишень при одном выстреле равна . Найдите вероятность того,

что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Вероятность каждого попадания равна 0,8.
Значит, вероятность каждого промаха равна 1-0,8=0,2.                               
Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий.
Получаем, что последовательность А = {попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет вероятность                                                                                                  .            .

испытаниях определяется по формуле:

Пример. В четырех попытках разыгрываются некоторые

предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?