если результат испытания не зависит от номера испытания и от
того, что произошло до этого испытания.Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях.
Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Теория вероятностей
Содержание
- 1. Теория вероятностей
- 2. Схема БернуллиРассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний
- 3. Формула БернуллиВероятность того, что при n испытаниях событие А наступит к-раз:
- 4. Схема БернуллиПример.Вероятность того, что образец бетона при
- 5. Схема БернуллиАсимптотические формулы.1. Формула Пуассона.Пусть число испытаний
- 6. Схема БернуллиПример 1 .Известно, что при транспортировке
- 7. Схема Бернулли2. Локальная теорема Муавра-Лапласа.Пусть число испытаний
- 8. Схема Бернулли3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.Пусть число испытаний
- 9. Схема БернуллиПример 2 .Завод изготавливает 80% высоконапорных
- 10. Схема БернуллиПример 3 .Вероятность поражения цели при
- 11. Случайная величинаОпределение.Случайной величиной называется числовая величина (числовая
- 12. Случайная величинаПример 2.Рассмотрим схему Бернулли:последовательность n независимых
- 13. Слайд 13
- 14. Случайная величинаДискретная случайная величина – такая случайная
- 15. Случайная величинаПример 3. Рассмотрим схему Бернулли:последовательность n
- 16. Случайная величинаПример 5.Случайным образом бросают точку на
- 17. Способы задания случайной величиныФункция распределения и ее
- 18. Закон распределения дискретной случайной величиныОпределение.Закон распределения дискретной
- 19. Закон распределения дискретной случайной величиныПримеры.1. Биномиальный закон
- 20. Дискретная случайная величинаОсновное свойство закона распределения:Функция распределения
- 21. Непрерывная случайная величинаОпределение.Случайная величина ξ называется непрерывной,
- 22. Свойства плотности распределения1.2.3.4.
- 23. Непрерывная случайная величинаПример. Случайным образом бросают точку
- 24. Непрерывная случайная величина110
- 25. Числовые характеристики случайных величинМатематическое ожидание.Определение.Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξназывается число, равное
- 26. Числовые характеристики случайных величинМатематическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число, равное
- 27. Числовые характеристики случайных величинСвойства математического ожидания.1.2.3.4.
- 28. Числовые характеристики случайных величинПример 1. Случайным
- 29. Числовые характеристики случайных величинДисперсия случайной величины.Определение.Дисперсией
- 30. Числовые характеристики случайных величинСвойства дисперсии. 1.2.3.4. Следствие.
- 31. Числовые характеристики случайных величинДоказательство.
- 32. Числовые характеристики случайных величинСреднеквадратическое отклонение случайной величины.Определение.Среднеквадратическим отклонением случайной величины ξ называется числоСвойства.1.2.
- 33. Числовые характеристики случайных величинПример 2. Случайным
- 34. Обзор стандартных распределений
- 35. Обзор стандартных распределений
- 36. Биномиальное распределениеξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли).Закон распределения:Пример
- 37. Распределение Пуассонаξ=(0,1,2,…,n,…)Закон распределения:
- 38. Геометрическое распределениеξ=(0,1,2,…,n,…)Закон распределения:Пример
- 39. Равномерное распределениеПлотность распределения:Функция распределения:1bbaaПример
- 40. Показательное распределениеПлотность распределения:Функция распределения:010
- 41. Нормальное распределениеОпределение.Непрерывная случайная величина ξимеет нормальное распределениес параметрами a и σ,если плотность распределенияВероятностный смысл параметров:
- 42. Нормальное распределениеГрафик плотности распределения.Нормированное распределение.Кривая Гауссах
- 43. Нормальное распределениеФункция распределения.
- 44. Нормальное распределениеВероятность попадания в интервал.Следствие: (вероятность отклонения ξ от а не более чем на ε)
- 45. Нормальное распределениеПравило «3σ».Практически достоверно, что
- 46. Нормальное распределениеПример.Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта-
- 47. Скачать презентанцию
Схема БернуллиРассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов).Испытания считаем независимыми, если результат испытания не зависит от номера испытания и от того, что произошло до этого испытания.Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Схема Бернулли
Рассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов).
Испытания считаем независимыми,
Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях.
Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р
Слайд 4Схема Бернулли
Пример.
Вероятность того, что образец бетона при испытании выдержит нормативную
нагрузку, равна 0,9.
Найти вероятность того, что из 7 образцов 5
выдержат испытания.Решение.
По формуле Бернулли
Слайд 5Схема Бернулли
Асимптотические формулы.
1. Формула Пуассона.
Пусть число испытаний n - велико
( n→∞ )
Вероятность р события А – мала (
р→0 )Причем
Тогда при любом фиксированном к
Закон редких событий
Слайд 6Схема Бернулли
Пример 1 .
Известно, что при транспортировке 2,5% декоративной плитки
повреждается. Определить вероятность того, что в партии из 200 плиток
оказалось поврежденными:а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток.
Решение.
Вероятность того, что плитка окажется поврежденной,
р=0.025 – мала, число испытаний n=200 –велико, причем np=5<10.
По формуле Пуассона:
а) б)
Слайд 7Схема Бернулли
2. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Пусть число испытаний n – велико
(n→∞)
Вероятность р события А – не очень мала ( 0
)(р не близко к 0 и к 1)
Тогда при любом фиксированном к
Слайд 8Схема Бернулли
3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Пусть число испытаний n – велико
(n→∞)
Вероятность р события А – не очень мала ( 0
)(р не близко к 0 и к 1)
Тогда вероятность того, что событие А наступит
не менее к-раз и не более m-раз,
приближенно равна
Слайд 9Схема Бернулли
Пример 2 .
Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб первого
сорта.
Определить вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого
сорта.Решение.
n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1.
По локальной теореме Муавра –Лапласа:
Слайд 10Схема Бернулли
Пример 3 .
Вероятность поражения цели при одном выстреле равна
0,8.
Производится 100 выстрелов.
Норматив считается выполненным, если цель будет поражена не
менее 75 раз.Определить вероятность выполнения норматива.
Решение.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
Слайд 11Случайная величина
Определение.
Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой
может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Обозначения:
Пример 1.
1. Число
вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, является случайным и принимает те или иные значения в зависимости от случайных обстоятельств.
Слайд 12Случайная величина
Пример 2.
Рассмотрим схему Бернулли:
последовательность n независимых однородных испытаний,
событие А
– случайное событие, которое может наступить при каждом испытании.
, если при i-ом испытании событие А наступило, и, если оно не наступило.
Случайная величина
- число наступлений события А в схеме Бернулли.
Слайд 14Случайная величина
Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может
принимать конечное или счетное множество значений.
Значения непрерывной случайной величины –принадлежат
интервалу (конечному или бесконечному). 
Слайд 15Случайная величина
Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли:
последовательность n независимых однородных испытаний,
А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании.
Пусть
Х – число наступлений события А.Х={ 0,1,2,…,п } – дискретная случайная величина.
Пример 4.
Проводятся независимые однородные испытания до первого появления события А.
Пусть ξ – функция, равная числу испытаний, проведенных до первого появления события А.
ξ={0,1,2,3,…} –дискретная случайная величина.
Обзор
Слайд 16Случайная величина
Пример 5.
Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в
].
Х – координата точки попадания.
Х є [ а,в] – непрерывная
случайная величина.Пример 6.
Время работы прибора без поломки μ – непрерывная случайная величина.
μ є ( 0, ∞ )
![Случайная величинаПример 5.Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ].Х – координата точки попадания.Х є [](/img/tmb/7/613208/7e58ecaa5ece1f65d61d24b2bd74d417-800x.jpg "Теория вероятностей Случайная величинаПример 5.Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ].Х")
Слайд 17Способы задания случайной величины
Функция распределения и ее свойства.
Определение.
Функция
, равная вероятности того, что
случайная величина примет значение меньше х, называется функцией распределения:Свойства.
1. Область определения F(x): х є (-∞, ∞).
2. Область значений : 0 ≤ F(x) ≤ 1.
3. Функция F(x) – неубывающая:
4.
5. Вероятность попадания в интервал (а,в):
Слайд 18Закон распределения дискретной случайной величины
Определение.
Закон распределения дискретной случайной величины –
это соответствие между возможными значениями и вероятностями, с которыми эти
значения принимает случайная величина.Способы задания:
Таблично Графически
Аналитически
Слайд 19Закон распределения дискретной случайной величины
Примеры.
1. Биномиальный закон ( в схеме
Бернулли):
2. Равномерное распределение ( в классической схеме):
3. Распределение Пуассона:
Слайд 20Дискретная случайная величина
Основное свойство
закона распределения:
Функция распределения –
кусочно-
непрерывная функция.
График функции
распределения –ступенчатая фигура.
Слайд 21Непрерывная случайная величина
Определение.
Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция
распределения F(x)- непрерывная при всех х и имеет почти всюду
производную F'(x)=f(x).В этом случае функция f(x) называется плотностью распределения вероятности.
Замечания. В некоторых учебниках такие случайные величины называют абсолютно непрерывными.
Если F(x)- непрерывная и не дифференцируемая функция, то в этом случае случайную величину называют сингулярной.
Слайд 23Непрерывная случайная величина
Пример.
Случайным образом бросают точку на отрезок [
0,1 ].
ξ– координата точки попадания.
Найти функцию распределения F(x) и плотность
f(x).Решение.
Из определения:
Обзор
![Непрерывная случайная величинаПример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ].ξ– координата точки попадания.Найти функцию распределения](/img/tmb/7/613208/5b2a722f0c8867815201abea049f82df-800x.jpg "Теория вероятностей Непрерывная случайная величинаПример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1")
Слайд 25Числовые характеристики
случайных величин
Математическое ожидание.
Определение.
Математическим ожиданием
дискретной случайной величины ξ
называется
число, равное
Слайд 26Числовые характеристики
случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется
число, равное
Слайд 28Числовые характеристики
случайных величин
Пример 1.
Случайным образом бросают точку на
отрезок [ 0,1 ].
ξ– координата точки попадания.
Найти математическое ожидание
Решение.
Из определения:
![Числовые характеристики случайных величинПример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ].ξ– координата точки](/img/tmb/7/613208/cc35970845a416fc7225c12faa57067a-800x.jpg "Теория вероятностей Числовые характеристики случайных величинПример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок")
Слайд 29Числовые характеристики
случайных величин
Дисперсия случайной величины.
Определение.
Дисперсией случайной величины ξ называется
математическое
ожидание квадрата отклонения
случайной величины от ее
математического ожидания:
Слайд 32Числовые характеристики
случайных величин
Среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Определение.
Среднеквадратическим отклонением
случайной величины
ξ называется число
Свойства.
1.
2.
Слайд 33Числовые характеристики
случайных величин
Пример 2.
Случайным образом бросают точку на
отрезок [ 0,1 ].
ξ– координата точки попадания.
Найти дисперсию и
среднеквадратическое
отклонение.Решение.
Из формулы:
![Числовые характеристики случайных величинПример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ].ξ– координата точки](/img/tmb/7/613208/1e285a3cbe785a1a8cee6681e31396c8-800x.jpg "Теория вероятностей Числовые характеристики случайных величинПример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок")
Слайд 36Биномиальное распределение
ξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли).
Закон распределения:
Пример
Слайд 41Нормальное распределение
Определение.
Непрерывная случайная величина ξ
имеет нормальное распределение
с параметрами a и
σ,
если плотность распределения
Вероятностный смысл параметров:
Слайд 42Нормальное распределение
График плотности распределения.
Нормированное распределение.
Кривая Гаусса
х
Слайд 44Нормальное распределение
Вероятность попадания в интервал.
Следствие:
(вероятность отклонения ξ от а
не более чем на ε)
Слайд 46Нормальное распределение
Пример.
Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта
- случайная величина, распределенная
по нормальному закону.
Если стандартная длина – 40 см, а среднеквадратическое
отклонение – 0,4 см, то какое отклонение длины изделия от стандарта можно ожидать с вероятностью 0,8 ?Решение.
