Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике
Слайд 2И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Рекомендуемая литература
Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2008.
Слайд 3И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Содержание
Система двух
случайных величин
Закон распределения системы двух дискретных случайных величин
Функция распределения двумерной
случайной величины
Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и в прямоугольник
Плотность совместного распределения вероятностей и её свойства
Слайд 4И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Система случайных
величин
До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись
одним числом. Такие величины называют одномерными. К примеру, погрешность измерений или число попаданий в серии выстрелов.
Слайд 5И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Система случайных
величин
Кроме одномерных часто изучают величины, возможные значения которых определяются двумя,
тремя,…, n числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трёхмерными,…, n -мерными.
Между случайными величинами, входящими в систему, существует так называемая статистическая связь, изучение которой имеет важное прикладное значение.
Слайд 6И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Система двух
случайных величин
Будем обозначать (X,Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин
X и Y называют составляющей или компонентой. Обе величины (X,Y) , рассматриваемые одновременно, образуют систему случайных величин
Слайд 7И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Система двух
случайных величин
Пример. Станок штампует детали. Если контролируемыми размерами являются длина
и ширина, то имеем двумерную случайную величину (X,Y). Если контролируется ещё и высота, то имеем трёхмерную величину (X,Y,Z).
Слайд 8И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Изображение двумерной
случайной величины
Значения двумерной случайной величины (x,y) геометрически можно изобразить
как случайную точку М(x,y) на плоскости
Слайд 9И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Системы случайных
величин
Различают дискретные и непрерывные системы случайных величин.
Наибольшую информацию о системе
случайных величин содержит закон распределения
Слайд 10И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Закон распределения
системы дискретных случайных величин
Закон распределения системы двух дискретных случайных величин
- это перечень всех возможных пар значений (xi,yj) и их вероятностей pij . Вероятности pij
удовлетворяют условиям: 0 pij 1,
Обычно закон распределения задают в виде таблицы.
Слайд 11И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Закон
распределения системы
двух дискретных случайных величин задан
в виде таблицы:
Слайд 12И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Закон распределения
системы дискретных случайных величин
Однако, возможны и другие способы задания закона
распределения.
Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из величин X и Y в отдельности:
Слайд 13И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Закон
распределения двумерной
случайной величины задан таблицей из
предыдущего примера.
Найти законы
распределения величин X и Y.
Решение.
Слайд 14И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Закон распределения
системы дискретных случайных величин
Отметим, что знание законов распределения величин, входящих
в систему, недостаточно для того, чтобы найти закон их совместного распределения. Закон совместного распределения содержит информацию о так называемой статистической зависимости между случайными величинами, о которой мы будем говорить позже.
Слайд 15И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Функция распределения
двумерной случайной величины
Пусть (X,Y) - двумерная случайная величина, дискретная или
непрерывная. Функцией распределения F(x,y) двумерной случайной величины называют функцию:
Слайд 16И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Функция распределения
двумерной случайной величины
Для каждой пары чисел x и y значение
функции равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, а случайная величина Y примет значение, меньшее y.
Слайд 17И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Геометрический смысл
функции распределения
F(x,y) равна вероятности того, что случайная точка на плоскости
(X,Y) попадёт в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), расположенный левее и ниже этой вершины
Слайд 18И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Свойства функции
распределения
Значения функции распределения удовлетворяют неравенству: 0 F(x,y)1.
Функция распределения является неубывающей
по каждому своему аргументу.
Слайд 19И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Свойства функции
распределения
Функция распределения случайной величины X равна:
Функция распределения случайной величины Y
равна:
Слайд 20И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вероятность попадания
случайной величины в полуполосу
Рассмотрим полуполосу с вершинами в точках
M1
(x1,y) и
M2 (x2,y)
Слайд 21И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вероятность попадания
случайной величины в полуполосу
Вероятность того, что случайная величина (X,Y) попадёт
в полуполосу с вершинами в точках M1 (x1,y) и M2 (x2,y) можно вычислить с помощью функции распределения:
Слайд 22И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вероятность попадания
случайной величины в прямоугольник
Вероятность того, что случайная величина попадёт в
прямоугольник можно вычислить по формуле:
Слайд 23И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Плотность совместного
распределения вероятностей
Плотностью совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины называют
функцию f(x,y), равную второй смешанной производной функции F(x,y) :
Слайд 24И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Свойства плотности
совместного распределения вероятностей
Функция f(x,y) неотрицательна, т.к. функция F(x,y) является неубывающей.
Можно
доказать, что
Так как , то выполняется условие
Слайд 25И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Свойства плотности
совместного распределения вероятностей
Пусть F1(x) и F2(y) - функции распределения случайных
величин X и Y соответственно, входящих в систему. Тогда
Слайд 26И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Задана
плотность совместного
распределения непрерывной двумерной
случайной величины (X,Y):
в квадрате
Вне этого
квадрата f(x,y)=0 .
Найти постоянный параметр С.
Слайд 27И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Решение. Воспользуемся
свойством 2,
учитывая, что x и y меняются от 0
до /2:
Выполнив интегрирование, получим С=1.
Слайд 28И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вероятностный смысл
функции f(x,y)
Рассмотрим прямоугольник ABCD, вершины которого имеют координаты:
A(x,y), B(x,y+y), C(x
+ x,y+y),
D(x + x,y).
Если величины x и y малы, то вероятность того, что случайная точка попадёт в прямоугольник ABCD:
Слайд 29И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вероятностный смысл
функции f(x,y)
Это свойство позволяет вычислять вероятность попадания случайной точки в
любую область на плоскости по формуле:
Слайд 30И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Плотность
распределения двумерной
случайной величины:
Найти вероятность попадания случайной
величины в прямоугольник
KLMN с вершинами
Слайд 31И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Решение. Искомая
вероятность
