Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции

схема исследования и построения графиков функций одной переменной.

интервала (а,b). Тогда существует касательная к графику функции, проходящая через

любую точку М(x,f(x)) этого графика, причем эта касательная не параллельна оси Оу.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
График функции f(x) имеет на интервале (а,b) выпуклость, направленную вверх (вниз), если в пределах этого интервала он расположен не выше (не ниже) любой своей касательной.

производную и
f ´´(x) ≤ 0 ( f ´´(x) ≥

0)
во всех точках интервала, то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вверх (вниз).


Доказательство.
Пусть f ´´(x) ≤ 0 на (а, b).
Возьмём произвольную точку x0∈(а, b).
Уравнение касательной к графику функции
в точке М(x0, f(x0)) имеет вид
Yкас= f(x0) + f ′( x0)(x – x0).
Запишем для f(x) формулу Тейлора первого порядка в окрестности точки x0:
f(x) = f(x0) + f ′( x0)(x – x0) + f ″(ξ)(х – x0)2/2.
Отсюда следует, что
f(x) – Yкас = f ″ (ξ)(х – x0)2/2 ≤ 0
во всех точках интервала, то есть график лежит не выше касательной.

x

y

a

b

x0

M

Yкас

f(x)

точкой перегиба графика функции
у = f(x), если в этой

точке график имеет касательную и существует окрестность точки х0 оси ОХ, в пределах которой слева и справа от х0 график функции имеет разные направления выпуклости.

М(x0, f(x0)) точка перегиба графика функции у = f(x) и

функция имеет в этой точке непрерывную вторую производную, то
f ´´(x0) = 0.

Доказательство.
Предположим, что f ´´(x0) ≠ 0.
Так как, по условию теоремы, f ´´(x) непрерывна в точке x0, то найдется такая окрестность этой точки, в которой f ´´(x) сохраняет знак числа f ´´(x0). Следовательно, функция сохраняет направление выпуклости в этой окрестности, что противоречит определению точки перегиба.

точке x0, дважды дифференцируема в окрестности этой точки и график

функции имеет касательную в точке М(x0, f(x0)). Если в пределах этой окрестности f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x0, то М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.
Доказательство.
Так как f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x0, то направление выпуклости слева и справа от точки различно, то есть М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.

x

y

f ''(x) > 0

f ''(x) < 0

f ''(x) < 0

M2

M1

x1

x2

x0) ≠ 0, то x0 – точка перегиба графика функции.

Доказательство.
Запишем

для f(x) формулу Тейлора третьего порядка в окрестности точки x0:
f(x) = f(x0) + f ′( x0)(x – x0) + f ′′′ (x0)(х – x0)3/6 + о((х – x0)3).

f(x) – Yкас = f ′′′( x0)/6 (1+ о(1)) (x– x0)3.
Выражение в правой части равенства имеет разные знаки слева и справа от точки x0, то есть при переходе через точку x0 график функции меняет направление выпуклости и М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.

Yкас =

производные первого и второго порядка:



Здесь y ′ (x) → ∞

при х → 0 и график функции в точке х = 0 имеет вертикальную касательную. Вторая производная в точке х = 0 не определена, а при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус. Итак, точка х = 0 – точка перегиба.

ее графика целесообразно проводить в следующем порядке:

Найти область определения функции.

Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых f(x) > 0 и f(x) < 0.
Найти асимптоты графика.
Сделать приблизительный эскиз графика.
Вычислить первую производную, найти точки экстремума и промежутки возрастания (убывания) функции.
Вычислить вторую производную, найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх или вниз функции.
Окончательно вычертить график.

и построить ее график.

Область определения функции D(f) = (–∞,

–1) ∪ (– 1, + ∞).
Функция общего вида.

Найдем нули функции, решив уравнение
f(x) = 0 ⇔ x = 0.
Отметим на числовой прямой промежутки знакопостоянства функции:

x

- 1

0

-

-

+

Знаки f(x)

= – 1 – вертикальная асимптота;
у = х – 2

– наклонная асимптота графика функции как
при х→ -∞ , так и при х→ + ∞.
На основе полученной информации построим приблизительный эскиз графика:

x

y

0

- 1

- 2

2

на числовой прямой. Расставим знаки производной в полученных интервалах и

укажем направления возрастания-убывания функции.







Вычислим значение функции в обнаруженной точке максимума:
f(-3) = – 6.75

x

0

- 1

- 3

-

+

+

+

Знаки f '(x)

max

производной. Расставим знаки второй производной в полученных интервалах и укажем

направления выпуклости функции.








Окончательно построим график:

x

0

- 1

+

-

-

Знаки f ''(x)

Точка
перегиба