УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое

Задача Эйлера.
Зависимость критической силы от условий закрепления стержня.
Критические напряжения. Расчет

на устойчивость стержня при упруго-пластических деформациях.
Определение допускаемых напряжений на устойчивость.
Коэффициент понижения напряжений.
Замечания о выборе материала и рациональной формы сечения при продольном изгибе.

положение или форму р а в н о в е

с и я при внешних воздействиях.
В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней.

Опыт показывает, что при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсивно искривляться (выпучиваться).
При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного стержня (при F>Fкр) становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.

или разрушением. Возможны также случаи, когда система, потеряв устойчивость, переходит

в режим незатухающих колебаний. Особая опасность потери устойчивости заключается в том, что она происходит внезапно и при низких значениях напряжений, когда прочность материала еще далеко не исчерпана.
При анализе устойчивости конструкций следует различать устойчивое и неустойчивое равновесие системы.

При устойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо силой из своего первоначального положения, возвращается в это положение после прекращения действия
силы.

положения, продолжает деформироваться в направлении данного ему отклонения, и, после

удаления внешнего воздействия, в исходное состояние не возвращается. В этом случае говорят, что произошла потеря устойчивости.





Между этими двумя состояниями существует переходное состояние, называемое критическим , при котором деформированное тело находится в безразличном равновесии: оно может сохранить первоначальную форму, но может и потерять ее от самого незначительного возмущения.

первоначальной формы (положения) тела.
С момента наступления критического состояния до момента

разрушения деформации системы нарастают крайне быстро, и практически нет времени принять меры по предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, при расчете на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей при расчете на прочность.
При этом условие устойчивости можно записать в следующем виде:



или в напряжениях

устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила

F приложена строго центрально. Рассматриваемый метод решения основан на том, что при достижении силой F критического состояния (F=Fкр) стержень находится в безразличном состоянии и ему присущи две формы равновесия: прямолинейная и криволинейная (в таких случаях говорят, что происходит ветвление, или бифуркация равновесных состояний). Для выявления криволинейной формы равновесия достаточно приложить к стержню малую поперечную возмущающую нагрузку Q, которая вызовет малый прогиб. Если FFкр, то равновесие стержня становится неустойчивым и сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Предположим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси,

вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:

где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.
Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:

где E – модуль Юнга; J – осевой момент инерции сечения стержня относительно оси z в данном случае; E·J – жесткость стержня при изгибе. Знаки левой и правой части (2) согласованы в данной системе координат.

(2)

(1)

обозначение
(4)
перепишем формулу (3) так:
(5)
Общий интеграл полученного однородного дифференциального уравнения

представляется функцией

и параметр k. Найдем эти величины из граничных условий –

условий закрепления стержня по концам:
а) при x=0 прогиб в опоре (точка A) должен быть равен нулю y=0, тогда из уравнения (5) получим, что С2=0, при этом формула приобретает вид

(6)

Уравнение (6) указывает на то, что при продольном изгибе изогнутая ось стержня может быть представлена как некоторое число волн синусоиды с амплитудой C1.

б) при x=l прогиб в другой опоре (точка B) должен быть также равен нулю y=0, тогда из уравнения (6) получим, что

Согласно постановке задачи, коэффициент C1 заведомо не равен нулю (иначе равен нулю прогиб балки во всех точках, что противоречит постановке задачи). В этом случае получаем

(n≠0), которое представляет собой число полуволн синусоиды, укладывающихся на длине

изогнутой оси стержня.

Решая совместно уравнения (4) и (7), получим выражение для некоторых фиксированных значений сжимающей силы, при которых возможна криволинейная форма равновесия оси стержня

длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J=Jmin (стержень искривляется

относительно оси с наименьшим моментом инерции)

(8)

Это выражение обычно называют формулой Эйлера, а определяемую с ее помощью критическую силу – эйлеровой силой .
Зависимость критической силы от условий закрепления стержня
Формула Эйлера была получена нами для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, согласно (8), при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

общую формулу для различных видов закрепления.
1-й случай
Стержень длиной l защемлен

одним концом и сжат продольной силой. Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного случаев можем сделать вывод, что ось стержня, защемленного одним концом, находится в тех же условиях, как и верхняя половина шарнирно опертого стержня длиной 2·l. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с одним защемленным концом может быть найдена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 2·l, то есть

Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного

случаев, а также из соображений симметрии, можем сделать вывод, что средняя часть стержня с заделанными концами, находится в тех же условиях, как и шарнирно опертая балка длиной l/2.
Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с двумя защемленными концами может быть найдена

а другой шарнирно оперт. Из сравнения вида изогнутой оси балки

для рассматриваемого и основного случаев, можем сделать вывод, что часть стержня находится в тех же условиях, как и шарнирно опертая балка длиной 0,7·l. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с защемленным и шарнирно опертым концами может быть найдена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 0,7·l, то есть

длины
(9)

р и т и ч е с к о г

о н а п р я ж е н и я , то есть напряжения, соответствующего критической силе при потере устойчивости сжатого стержня

(10)

Вспомним, что Jmin /A = i2min – квадрат минимального радиуса инерции. Тогда формулу (10) можно записать так:

Величина

(11)

называется г и б к о с т ь ю стержня.

Юнга E) и гибкости стержня λ. При этом зависимость между

σкр и λ может быть представлена гиперболической кривой, называемой г и п е р б о л о й Э й л е р а .
Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии балки. Поэтому использовать эту формулу можно лишь в том случае, когда деформирование материала протекает в соответствии с законом Гука, то есть пока критическое напряжение не превысит предела пропорциональности σпц (по диаграмме сжатия материала):

е д е л ь н о й г

и б к о с т и стержня λпр, когда еще возможно применение формулы Эйлера:

(13)

Например, для малоуглеродистых сталей (E=2·105 МПа, σпц≈200 МПа) предельная гибкость

Итак, при λ>λпр для определения критической силы будем пользоваться формулой Эйлера, если же λ<λпр, то формула Эйлера становится неприемлемой, так как дает завышенные значения критической силы, то есть всегда переоценивает действительную устойчивость стержней.
Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом пропорциональности не только неправильно, но и опасно.

для расчетов на устойчивость в этой области обычно пользуются эмпирическими

формулами, полученными в результате обработки большого числа экспериментальных данных.
Прежде всего, выделим стержни с м а л о й г и б к о с т ь ю, у которых 0<λ<λ1 ≈ (0,3…0,4)⋅λпр (для стали). Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет потери прочности, потеря устойчивости в таких случаях, как правило, не наблюдается. Таким образом, для стержней малой гибкости при сжатии проводят обычный расчет на прочность, принимая в качестве предельного напряжения предел текучести σт (для пластичных материалов) или предел прочности σв (для хрупких материалов). Этому условию соответствует горизонтальная прямая на рисунке.

сжатых стержней необходимо проводить две проверки:
а) проверка на прочность
где [σ_

] = σо /nпр – допускаемое напряжение на сжатие; σо – опасное напряжение (предел текучести для пластичных материалов или предел прочности для хрупких); nпр – коэффициент запаса прочности.

nу=1,8...3) всегда выше коэффициента запаса на прочность (nпр=1,4...1,6). Это объясняется

тем, что коэффициент запаса устойчивости, кроме всего прочего, зависит от таких факторов, как начальная кривизна стержня, эксцентриситет приложения нагрузки, неоднородность материала, которые незначительно влияют на прочность, однако могут вызвать преждевременную потерю устойчивости.
Сравнивая выражения для допускаемых напряжений на устойчивость и прочность, установим связь между этими напряжениями

о э ф ф и ц и е н т

п о н и ж е н и я основного допускаемого напряжения при расчете на устойчивость.
Тогда

(15)

Коэффициент зависит от марки материала и гибкости λ стержня и приводится в справочных таблицах.
Таким образом, окончательно условие устойчивости примет вид

(16)

Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней – проверочный и проектировочный.

известных размеров и формы поперечного сечения и условий закрепления стержня,

вычисляем гибкость λ;
2) по справочной таблице по известному λ находим коэффициент понижения допускаемого напряжения φ, затем определяем допускаемое напряжение на устойчивость [σу] (15);
3) сравниваем максимальное напряжение с допускаемым напряжением на устойчивость по условию (16).
Проектировочный расчет
При проектировочном расчете (подобрать сечение под заданную нагрузку) в расчетной формуле (16) имеются две неизвестные величины – искомая площадь поперечного сечения A и неизвестный коэффициент φ (так как φ зависит от гибкости стержня, а значит и от неизвестной площади A). Поэтому при подборе сечения обычно приходится пользоваться методом последовательных приближений.
1) Обычно в первой попытке принимают φ1=0,5…0,6 и определяют площадь сечения в первом приближении

стержня в первом приближении λ1. Зная λ, находят новое значение

φ1′.
3) Далее, используя найденный φ1′, проверяют условие устойчивости (16), и если σmax и [σу] (15) значительно отличаются друг от друга (более чем на 5 %), следует повторить расчет, приняв во второй попытке

Замечания о выборе материала и рациональной
формы сечения при продольном изгибе
Выбор материала
Так как в формулу Эйлера из всех механических характеристик входит лишь модуль Юнга

о й гибкости нецелесообразно применять высокопрочные материалы, так как модуль

Юнга для всех марок сталей примерно одинаков.
Для стержней м а л о й гибкости применение высокосортных сталей оправдано, так как с повышением предела текучести у таких сталей повышаются и критические напряжения, а значит и запас устойчивости.
Форма сечения
При проектировании стержней, работающих на устойчивость, следует выбирать такую форму сечения, чтобы гибкость стержня была одинаковой относительно обеих главных осей его сечения (условие равноустойчивости), а значит, согласно (10), (11), максимальный и минимальный моменты инерции такого сечения должны быть одинаковы

Кроме того, необходимо стремиться к получению при данной площади наибольших радиусов инерции. Для этого необходимо разместить материал сечения по возможности дальше от центра тяжести (трубчатые, коробчатые сечения).

сечение, уголок, двутавр, швеллер, квадрат, круг, прямоугольник.