Векторная алгебра

задан двумя точками,

- начало, - конец,
то

, приложенные в одной точке. Найти координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между , при условии, что .



Ответ:

произведение вектора на число.
Пусть
Тогда

1.
2.
Модуль вектора


Орт вектора

вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда
соответствующие координаты этих

векторов пропорциональны.
Пусть

Тогда



Доказательство.

косинус угла между ними.



Физический смысл.
Пусть материальная точка
под действием силы
перемещается

из положения
в положение

Обозначения :

силы на вектор перемещения.
Свойства скалярного произведения.
1.

- переместительный закон
2. - сочетательный закон
3.

проекций

Аналогично можно записать .

- распределительный закон

Доказательство свойства № 4.

так как
Скалярный квадрат вектора равен квадрату

его модуля.
7. Условие перпендикулярности векторов.
Для того, чтобы два ненулевых вектора были
перпендикулярны необходимо и достаточно,
чтобы скалярное произведение этих векторов
равнялось нулю:

Определение
перпендикулярных векторов:

90°

значит

Достаточность: если , то и

, если

и угол между

векторами
Решение.
Находим скалярный квадрат вектора :

то их скалярное произведение
равно нулю:


аналогично,

Скалярные квадраты ортов :

Скалярное произведение ортов

равно
сумме произведений соответствующих координат.

или
Вычислим их скалярное произведение Воспользуемся
распределительным и сочетательным свойствами скалярного произведения (свойством 4 и свойством 2) и получим:





Встречающиеся здесь скалярные квадраты базисных векторов равны единице, т.к.

скалярными произведениями перпендикулярных векторов (свойство 7).
Окончательно получается


Можно формулировать следующее

правило.
Если векторы заданы своими прямоугольными координатами, то скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

корню из суммы квадратов координат этого вектора:

одновременно с заданием которых указано, какой из них является первым,

какой вторым и какой третьим.



Упорядоченная тройка
некомпланарных векторов
называется правой, если из
конца третьего вектора
кратчайший поворот от первого
вектора ко второму виден
совершающимся против часовой
стрелки.

:

Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов называется левой, если из конца

третьего вектора кратчайший поворот от
первого вектора ко второму виден совершающимся по часовой стрелке.

Пример.
Тройка векторов
- правая.

Система координат х, у, z
имеет правую ориентацию.

,
удовлетворяющий трем условиям :

1.
2.
3. Тройка векторов -
правая.

Обозначения :

Пусть к твердому телу,
закрепленному в точке А, приложена в точке В сила

Момент силы , приложенной
в точке В, относительно точки А
равен векторному произведению
вектора и силы :

А

В

произведения двух векторов
численно равен площади параллелограмма,

построенного на этих векторах:

ненулевых вектора коллинеарны
тогда и только тогда, когда их векторное
произведение равно

нулевому вектору:



6.

что


а)

б) векторы образуют правую тройку, значит
в) значит
Аналогично доказывается, что и

скалярно на третий вектор:




Обозначения:

Замечание.
Результат смешанного произведения трех векторов
является скалярной величиной.

векторов
равен объему параллелепипеда, построенного
на

этих векторах :



Знак смешанного произведения определяет
ориентацию тройки векторов :
если , то тройка имеет правую ориентацию;
если , то тройка имеет левую ориентацию.

векторов.
Три ненулевых вектора компланарны
тогда и только тогда, когда смешанное

произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов,
заданных в координатной форме.
Пусть

Д.з. Доказать
самостоятельно,
используя
геометрический смысл

Тогда