Дифференцирование показательной и логарифмической функции

дифференцирование

1.
Построим для различных оснований а графики:

1. y =

2x

2. y = 3x

(1 вариант)

3. y = 10x

(2 вариант)

имеют горизонтальную асимптоту у = 0
при х

 ∞;
3) Все они обращены выпуклостью вниз;
4) Все они имеют касательные во всех своих точках.

y = 2x в

точке х = 0 и измерим угол , который образует касательная с осью х

заметить, что если основание а показательной функции y = аx

постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’.
Следовательно существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’.
В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.
Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:
е = 2, 7182818284590… ;
На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.

(f) = ( - ∞; + ∞ );
2) не

является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
6) непрерывна;
7) E (f) = ( 0; + ∞ );
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.

Функцию y = еx называют экспонентой.

еx имеет производную в любой точке х:
(ex) = ex
(е5х)'

= 5е5х

(е-4х+1)' = -4е-4х-1

(ех-3)' = ех-3

в точке x=1.
Решение:
1) =1
2)

f( )=f(1)=e

3)

4) y=e+e(x-1); y = ex

Ответ:

y=ex

в точке x = 3.
Решение:
Ответ:
4

минимума

Ответ:

дифференцирование

натуральный логарифм. Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l

– логарифм, n – натуральный).

( 0; + ∞);
2) не является ни четной, ни

нечетной;
3) возрастает на ( 0; + ∞);
4) не ограничена;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Е (f) = ( - ∞; + ∞ );
8) выпукла верх;
9) дифференцируема.

График и свойства функции y = ln x

справедлива формула дифференцирования

в точке x = -1.

Пример 4:

Решение:

Ответ: 1,5