Этот простой, сложный параметр 8 класс

Гришанова Е.С., учитель математики МБОУ «Акбулакская СОШ №2»
 

Этот простой,
сложный

параметр

с параметрами и создание сборника задач с параметрами для подготовки

к ОГЭ
Методы исследования: изучение литературы, сравнение, обобщение, аналогия, анализ и классификация информации

данной теме
- Описание решений различных уравнений с параметром
- Начать подготовку

к ОГЭ

k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, x

– действительной переменной величиной, а само уравнение называется уравнением с одним неизвестным, содержащим параметры.

же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних

и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

уравнения ax = 6 является целым числом.
2. При каком значении

a точка A(a; -1,4) принадлежит графику прямой пропорциональности y = 3,5x?

Задания с параметром,
встречающиеся в школьном учебнике
«Алгебра 7,8,9 кл.»

точку A(10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку:

а) B(1; 24); б) C(-0,2; -120)?

В уравнении x2 + px – 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.

3. Один из корней уравнения x2 – 13x +q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.

y = x2 + bx + c является точка (6;

-12)?
Решение: применим формулу для вычисления абсциссы вершины параболы m = - b/2a
Получим: 6 = - b/2, b = - 12. Координаты точки (6;-12) удовлетворяют уравнению y = x2 + bx + c. Подставим их и найденное значение b в данное уравнение. Получим: -12 = 36 – 72 + c, c = 24

2. При каком значении a осью симметрии параболы
y = ax2 – 16x + 1 является прямая x = 4?
Решение: абсциссой вершины параболы является
m = 4. Применим формулу для вычисления абсциссы вершины параболы: m = - b/2a. Получим: 4 = 8/a, a = 2

корней?
Решение: Если уравнение не имеет корней, то D

4-4с<0, -4с<-4, с>1.
Значит при с>1 уравнение не имеет корней.
Ответ: если с>1, то уравнение не имеет корней.

Задания с параметром
из тестов ОГЭ

либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра,

принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Основные типы задач
с параметром

требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения,

неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Тип 4 Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Основные типы задач
с параметром

ответа в задачах без параметра.
Способ II (графический)
В зависимости от

задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
Способ III (решение относительно параметра)
При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым.

Основные способы (методы)
решения задач с параметром

приняло вид Ax= B.
Исследовать коэффициент уравнения (если он содержит параметр)

на равенство нулю (A = 0, A ≠ 0).
Исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра (уравнение имеет единственный корень, бесконечное множество корней, не имеет корней).
Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Линейные уравнения и уравнения,
приводимые к линейным, с параметром

представляется возможным сразу дать ответ: x = . Однако

при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
Ответ. Если a = 0, то нет решений; если a ≠ 0, то x = .

приняло вид квадратного уравнения относительно неизвестного: ax2 + bx +

c = 0;
Исследовать коэффициент уравнения при x2, если он содержит параметр, на равенство нулю (a = 0, a ≠ 0);
Определить вид уравнения и исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра:
- если a = 0, то уравнение линейное и необходимо найти его корни в соответствии с алгоритмом решения линейного уравнения;
- если a ≠ 0, то уравнение квадратное. Исследовать наличие корней и найти их при каждом фиксированном значении параметра из условия, что D >0, D < 0, D = 0.
4. Собрав ранее полученные результаты в зависимости от значений параметра, записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Квадратные уравнения и уравнения,
приводимые к квадратным, с параметром

x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение: 1)

Рассмотрим случай, когда a = 0, то данное уравнение примет вид: -x + 3 = 0, то оно является линейным и имеет единственное решение x = 3.
2) Если a ≠ 0, то имеем квадратное уравнение.
D = 1 – 12a.
Чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы D = 0. 1 – 12a = 0, a = 1/12.
Ответ: Уравнение имеет единственное решение при a = 0 или a = 1/12.

Решение: Данное уравнение равносильно системе

x – a = 0
x ≠ 1 x = a – единственный корень. Понятно, что условие
x ≠ 1 влечет за собой требование a ≠ 1. Следовательно, если a ≠ 1, то x = a; если a = 1, то уравнение не имеет решений.
Ответ. Если a ≠ 1, то x = a; если a = 1, то уравнение не имеет решений.

Дробные рациональные
уравнения с параметром

целому виду
Исследовать решение целого уравнения при каждом фиксированном значении параметра,

применив алгоритм решения линейного и квадратного уравнений с параметром
Провести исследование знаменателя на наличие посторонних корней (выяснить, при каких значениях параметра полученные корни обращают знаменатель в ноль)
Собрав ранее полученные результаты в зависимости от значений параметра, записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

заданий, которыми предстоит заниматься будущим студентам на разных этапах профессиональной

подготовки.
Теоретическое изучение и математическое моделирование процессов в различных областях человеческой деятельности часто приводит к сложным задачам, в которых «много» различных неизвестных, которые по существу и представляют собой параметры.

параметрами. М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.
Домбровская Т.В. Задания с параметром.

Томск: ТОИПКРО.
Домбровская Т.В. Учебно-методический сборник тестовых заданий по алгебре, 9 класс. Томск: ТОИПКРО, 2005.
Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс. М.: Дрофа, 2002.
Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ. 9 класс. Экспериментальная экзаменационная работа. Типовые тестовые задания. М.: Издательство «Экзамен», 2006.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учебник для 7,8,9 кл. общеобразоват. Учреждений. М.: Просвещение, 2004.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 кл. М.: Просвещение, 1997.
Фальке Л.Я., Лисничук Н.Н., Крыжановская Е.Н. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005.