Интерактивный плакат "Математические функции"

СОШ
Белгородского района
Белгородской области»

Степенная функция с целым показателем






Задания для проверки
Давайте отдохнем

Линейной называется функция вида
y=kx+b, где k и

b - действительные числа.
Пример:y=2x+3 (здесь k=2, b=3).
Свойства линейной функции:
Область определения - множество R действительных чисел.
Линейная функция y=kx+b является четной, если k=0, нечетной, если b=0, и ни четной, ни нечетной, если k≠0 и b≠0.
Линейная функция y=kx+b возрастает, если k>0, убывает, если k<0, если же k=0 является постоянной.
Построение графика линейной функции:
При построении графика линейных
функций вида y=kx+b можно построить
график y=kx, и воспользоваться
параллельным переносом. Но проще найти,
используя аналитическое выражение, две
принадлежащие графику точки и провести
через них прямую.

y=b. Получается, что все точки
графика данной зависимости будут иметь

одинаковую ординату y, которая будет равна b.
Свойства постоянной функции y=b.
D(f)= R;
E(f)= b;
ограничена сверху и снизу на всей области своего существования;
не принимает, ни наибольшего, ни наименьшего значения;
не периодическая;
четная;
постоянна на всей области своего существования;
пересекает ось ординат в точке (0;b)
графиком данной функции является прямая, параллельная оси Ox и пересекающая ось Oy в точке (0;b).

y=kx+b имеет вид
y=kx и называется прямой пропорциональностью; в этом

случае коэффициент k называется коэффициентом
пропорциональности.Пример:y=2x
Свойства прямой пропорциональности y=kx.
D(f)= R;
E(f)= R;
не ограничена ни снизу не сверху;
не принимает, ни наибольшего, ни наименьшего значения;
не периодическая;
нечетная;
возрастает на R при k>0 и убывает при k<0;
точка (0;0) - единственная точка пересечения с осями координат;
графиком данной функции является прямая, проходящая через начало координат.
Построение графика прямой пропорциональности:
При построении графиков линейных зависимостей
вида y=kx достаточно найти одну точку, принадлежащую
графику и отличную от нуля, и провести прямую через эту
точку и начало координат.

если k1≠k2, b1≠b2, то прямые, служащие графиками данных функций пересекаются;
если

k1=k2, b1=b2, то прямые совпадают;
если k1=k2, b1≠b2, то прямые параллельны;
если k1≠k2, b1=b2, то прямые пересекаются в точке, принадлежащей оси Oy.

рассмотрим степенную функцию с произвольным целым показателем, т.е.
зависимость вида

y=xm, где m - целое число.
m=0 ,получаем функцию вида y=1, x≠0 - постоянная функция с проколом в точке (0;1)

m=1, получаем y=x – линейная функция, графиком является прямая проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов
m=2, квадратичная функция y=x2

m=3, кубическая функция y=x3

m=-1, обратная пропорциональность y=1/x

R;
E(f)=(0;+∞);
ограничена снизу на всей области своего существования;
принимает наименьшее значение в

точке (0;0);
непериодическая;
четная;
возрастает на промежутке [0;+∞[ и убывает на промежутке ]-∞;0];
пересекает оси Oy и Ox в точке (0;0);
графиком является парабола, имеющая вершину в точке (0;0) и ветви которой направлены вверх;

R;
E(f)= R;
не ограничена ни снизу, ни сверху на всей области

своего существования;
не принимает ни наибольших, ни наименьших значений;
непериодическая;
нечетная;
возрастает на R;
пересекает оси Oy и Ox в точке (0;0);
графиком является кубическая парабола, пересекающая начало координат;

пропорциональности:
D(f)= (-∞;0)∪ (0;+∞);
E(f)= (-∞;0)∪ (0;+∞);
не ограничена ни снизу, ни сверху

на всей области своего существования;
не принимает ни наибольших, ни наименьших значений;
непериодическая;
нечетная;
убывает на всей области своего существования;
не имеет пересечений с осями координат;
имеет горизонтальную и вертикальную ассимптоты, которыми являются оси координат;
графиком является гипербола;

= 1с центром O в начале координат.
Координатные оси делят окружность

на четыре дуги,
которые называют четвертями. Рассмотрим произвольный
угол . Точка  M(x;y) лежит на единичной окружности,
считаем, что точка  M результат поворота точки A(1;0) на
угол . На оси OX находятся значения cos угла поворота, а
на оси OY, соответственно, находятся значения  sin
углов поворота. На дополнительных осях ctg и
tg  параллельных осям OX и OY, соответственно,
находятся значения  ctg и tg  угла поворота.
Тригонометрические функции определяются следующими равенствами:
синус: sin =y, т.е. ордината точки M;
косинус: cos =x, т.е. абсцисса точки M;
тангенс: tg =x : y, т. е. отношение ординаты к абсциссе точки M;
котангенс: ctg =y : x, т. е. отношение абсциссы к ординате точки M.
Замечание.  Значение tg  угла поворота не существует для углов 2 + n n Z. Значение ctg  угла поворота не существует для углов n n Z.

всей области своего существования;
при x=π/2+2πn, n∈Z принимает наибольшее значение y=1,

а при x=-π/2+2πn, n∈Z принимает наименьшее значение y=-1;
периодическая с основным периодом 2π;
нечетная;
возрастает на отрезке [0+2πn;π/2+2πn], n∈Z и убывает на отрезке [π/2+2πn;π+2πn], n∈Z;
пересекает ось абсцисс в точках (π+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;0);
графиком является синусоида.

всей области своего существования;
при x=0+2πn, n∈Z принимает наибольшее значение y=1,

а при x=π+2πn принимает наименьшее значение y=-1;
периодическая с основным периодом 2π;
четная;
возрастает
на отрезке[-π+2πn;0+2πn], n∈Z и убывает на отрезке [0+2πn;π+2πn], n∈Z;
пересекает ось абсцисс в точках (π/2+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;1);
графиком является косинусоида.

не ограничена ни сверху, ни снизу;
не принимает ни наибольшего ни

наименьшего значения
периодическая с основным периодом π;
нечетная;
возрастает на отрезке [-π/2;+πn;π/2+πn], n∈Z;
пересекает ось абсцисс в точках (0+πn;0), n∈Z и ось ординат в точке (0;0);
графиком является тангенсоида.

не ограничена ни сверху, ни снизу;
не принимает ни наибольшего ни

наименьшего значения
периодическая с основным периодом π;
нечетная;
убывает на отрезке [0+πn;π+πn], n∈Z;
пересекает ось абсцисс в точках (π/2+πn;0), n∈Z, не имеет пересечений с осью ординат;
графиком является котангенсоида.

способом:
Ответить на вопросы прямо сейчас пройдя по ссылке, при этом

сможете сразу проверить свои ответы.
Хотите более сложный уровень, нажмите ОК и выбирайте интересующий вас вопрос.
Подключить INTERNET и пройти независимое тестирование.

область определения функции, заданной аналитически.
Установите вид функции по её графику.

Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК

Определите вид тригонометрической функции по её графику.
Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК

Установите соответствие между видом функции и его графиком.
Постройте график заданной функции.
Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК

Назад к видам проверки

и графиков;
http://uztest.ru/simulator - тренажер на знание различных функций и их

свойств;

Назад к видам проверки

учитель математики и информатики
Рыбинск, 2008
Свойства функций
(тест с проверкой)

укажите области определения этих функций
1) (-∞; + ∞)
2) (-∞; -

1]

3) (-∞; 0]

4) (-∞; 0) ∪ (0; + ∞)

5) [-2; 4]

6) [0; + ∞)

8) [-2; + ∞)

7) [-4; 4]

9) (-∞; 3)

1) (-∞; + ∞)

1) (-∞; + ∞)

1) (-∞; + ∞)

1) (-∞; + ∞)

4) (-∞; 0) ∪ (0; + ∞)

6) [0; + ∞)

3) (-∞; 0]

7) [-4; 4]

проверка

укажите область значений этих функций
1) (-∞; + ∞)
2) (-∞; -

1]

3) (-∞; 0]

4) (-∞; 0) ∪ (0; + ∞)

5) [-2; 4]

6) [0; + ∞)

8) [-2; + ∞)

7) [-4; 4]

9) (-∞; 3)

1) (-∞; + ∞)

8) [-2; + ∞)

9) (-∞; 3)

2) (-∞; - 1]

6) [0; + ∞)

4) (-∞; 0) ∪ (0; + ∞)

6) [0; + ∞)

5) [-2; 4]

проверка

определите, какие из функций:
1) Ограничены сверху
2) Ограничены снизу
3) Ограничены
4) Не

ограничены

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

2)

снизу

ограничена

сверху

не ограничена

снизу

не ограничена

сверху

ограничена

снизу

проверка

убывает
Ответ:
Функция возрастает
Функция убывает
[- 3; - 2] ∪ [2; 3]
[3; 5]
[-

5; - 3]

[- 3; 2] ∪ [3; 4]

проверка

наименьшие значения функций
Унаим = - 2
Унаим = 0
Унаим =

0

Унаиб = 3

Нет Унаиб и Унаим

Нет Унаиб и Унаим

проверка

наименьшие значения функций
Унаиб = - 1
Унаиб = 2 ;

Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2

Унаиб = 2 ; Унаим = - 2,5

Унаиб = 3 ; Унаим = - 3

проверка