Разделы презентаций


Метод рационализации

Содержание

Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Метод рационализации
Работу выполнили: Белозерова О.М.

Шарикова И.Е.




г.Георгиевск
Метод рационализацииРаботу выполнили:   Белозерова О.М.

Слайд 2
Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики

невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть

один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств.

Введение

Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства,

Слайд 3 Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с

переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

Теоретическое
обоснование метода

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

Слайд 5
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

, (1)
где - некоторые функции
Теорема 1.
Логарифмическое неравенство
равносильно следующей системе неравенств:

(2)

Сведение логарифмического
неравенства к системе
рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

Слайд 6 Начнем с того, что первые четыре неравенства

системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим

теперь внимание на пятое неравенство.
Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство

Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство

Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода.
Терема доказана.

Доказательство

Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного

Слайд 7
Теперь рассмотрим показательное неравенство вида

3)
Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции.
И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется).
Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Сведение показательных
неравенств к системе
рациональных неравенств

Теперь рассмотрим показательное неравенство вида

Слайд 8Теорема 2.

Показательное неравенство
равносильно следующей системе неравенств:


(4)
Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Слайд 9 Если

, то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При

сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство
.
Если , то первый множитель третьего неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство
.

Доказательство

Если         , то первый множитель третьего неравенства

Слайд 10Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G,

где f, g, h, p, q – выражения с переменной

x (h > 0,h

1, f > 0, g > 0),

1).

а – фиксированное число (a > 0, a

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, q –

Слайд 12Доказательство
Пусть loga f- loga g> 0, то

есть loga f> loga g, причём a > 0,

a ≠ 1, f > 0, g > 0.
Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств
a -1<0
f – g < 0
Откуда следует неравенство (a – 1)(f – g) > 0 верное на области определения выражения F = loga f- logag.
Если a > 1, то f > g. Следовательно, имеет место неравенство (a – 1)(f – g)> 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(f – g)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем.
a – 1<0 a – 1 > 0
f – g < 0 f – g > 0

Из каждой системы следует неравенство loga f> loga g, то есть loga f- loga g> 0.
Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.


Доказательство   	Пусть loga f- loga g> 0, то есть  loga f> loga g, причём

Слайд 13 Пусть некоторое число а > 0 и а

≠ 1, тогда имеем


=

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

или (h-1)(f-g) .

Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем

Слайд 14 Так как


=
то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (f - 1)(g - 1)(h - 1)(g – f).

Так как

Слайд 15
Из неравенства

> 0 следует

. Пусть число а > 1, тогда loga > loga или (h – g)loga h > 0.
Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем
(f – g)(a – 1)(h – 1) > 0, (f – g)(h – 1) > 0.
Аналогично, доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.


Доказательство проводится аналогично доказательству 4.


Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p2 > q2 ( | p | < | q | и p2 < q2).

Из неравенства      > 0 следует

Слайд 16
Решить неравенство:
Решение:
Пример 1.

Решить неравенство:Решение:Пример 1.

Слайд 17-
-
+
+
-2
2
1
ОТВЕТ:

--++-221ОТВЕТ:

Слайд 18Решить неравенство:
Решение:
Пример 2.

Решить неравенство:Решение:Пример 2.

Слайд 19-
+
-2
1
0
ОТВЕТ:
-1
-1
0
1
+
-
-
+

-+-210ОТВЕТ:-1-101+--+

Слайд 20Решить неравенство:
Решение:
Пример 3.

Решить неравенство:Решение:Пример 3.

Слайд 22Пример 4.
Решить неравенство:
Решение:

Пример 4.Решить неравенство:Решение:

Слайд 24
Пример 5.


Пример 6.


Пример 7.


Пример 8.
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
Решите примеры

Пример 5.Пример 6.Пример 7.Пример 8.ОТВЕТОТВЕТОТВЕТОТВЕТРешите примеры

Слайд 25Пример 9.



Пример 10.



Пример 11.
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ

Пример 9.Пример 10.Пример 11.ОТВЕТОТВЕТОТВЕТ

Слайд 26-
+
1/2
3
2
ОТВЕТ:
+
-
0
-1
Пример 5
НАЗАД

-+1/232ОТВЕТ:+-0-1Пример 5НАЗАД

Слайд 27-
+
6
2
ОТВЕТ:
1
3
9
+
-
+
Пример 6
НАЗАД

-+62ОТВЕТ:139+-+Пример 6НАЗАД

Слайд 28+
-
-1
3
1
ОТВЕТ:
0
-1
0
2
+
-
+
(2;3)
Пример 7
НАЗАД

+--131ОТВЕТ:0-102+-+(2;3)Пример 7НАЗАД

Слайд 29-
+
-2
1
ОТВЕТ:
-1
-1
0
+
-
Пример 8
НАЗАД

-+-21ОТВЕТ:-1-10+-Пример 8НАЗАД

Слайд 30-
+
-3
1
0
ОТВЕТ:
-1
-1/2
4
+
+
-
Пример 9
НАЗАД

-+-310ОТВЕТ:-1-1/24++-Пример 9НАЗАД

Слайд 31-
+
3
ОТВЕТ:
1
1
2
+
+
-
Пример 10
НАЗАД

-+3ОТВЕТ:112++-Пример 10НАЗАД

Слайд 323/2
ОТВЕТ:
0
5/4
Пример 11

3/2ОТВЕТ:05/4Пример 11

Слайд 33Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств

с одной переменной. – 2011.
Моденов В. П. – Пособие по

математике. – 1972.
Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.
 

С П И С О К
использованной литературы

Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011.Моденов В. П.

Теги

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика