ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА В РЕШЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

в физике и математике, но и в решении многих практических

задач.
Вот пример одной из них:
Маша насыпала в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросила соседку:
- Сколько нужно налить воды, чтобы получилось вкусная каша?
- Это очень просто,- ответила соседка.- Наклони кастрюлю, постучи, чтобы каша пересыпалась и закрыла 1 /2 дна. Теперь отметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа. До этого уровня надо налить воды.
- Так ведь пшена можно насыпать больше или меньше, да и кастрюли бывают разные: широкие, узкие – усомнилась Маша.
- Все равно мой способ годится в любом случае!- гордо ответила соседка.

вода

крупа

для любой цилиндрической кастрюли получается одинаковым.
h
о
О

S=∫f(x) d x
Поместим исследуемую модель в систему

координат, так чтобы основание цилиндра лежало в плоскости XOY , а центр основания О стал началом системы координат.
Через x є OX, x є [-R; R] строим сечение тела плоскостью перпендикулярной (XOY) параллельно OY. Треугольник MNX- сечение.
Треугольник MNX подобен
треугольнику ABO:
MN/AB=MX/AO
MN/h= y/R, N (x; y; z), MN=h y /R
Sмn x=1/2MN·MX= hy²/2R, но M є окружности x²+y²=R², т. е. y²=R²-x²
S( x) = Sмn x= h (R²-x²) /2R
Vтела=2∫S(x)dx=2∫((R²-x²)h/2R)dx=h/R(R²x-x³/3)| = h/R(R³-R³/3)=2hR³/3R=2/3hR²
Vв=Vц-Vк=πR²h-2/3R²h=R²h/3(3π-2)
Vв/Vк=3 π/2-1, следовательно не зависит от размеров кастрюли.

Решение задачи:

не абстрактная наука, а наука, определённая самой жизнью.

Фотография, изображение кастрюли