Применение производной для исследования функций

Нахождение промежутков убывания функции.
3. Нахождение промежутков постоянства функции.
4. Нахождение экстремумов.
5.

Если f '(x) >0 в каждой точке интервала I, то функция f монотонно возрастает на интервале I.
АЛГОРИТМ
D(f)
f '(x)
Решить неравенство
f '(x)>0
4. Выписать промежутки, где производная имеет знак «+».

у=f(x)

х2

х1

у
Если в каждой точке интервала I f

Х

0

х0

У = f(x)

Функция у = f(x) постоянна на интервале (а; в) тогда и только тогда , когда
f '(x) = 0 в каждой точке этого интервала.

= f(x) , то эта точка является критической точкой данной

Если f '(x)>0 при х < x0
и f '(x)<0 при х > x0 ,
то Х0 – точка максимума.

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
Если функция у = f(x) непрерывна в точке
Х0 и производная f '(x) меняет знак в этой точке , то Х0 – ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА
функции у = f (x)

Если f '(x)<0 при хи f '(x)>0 при x>Х0 ,
то Х0 – точка минимума.

f '(x)>0

f '(x)=0

f '(x)<0

Х мах

Х min

f '- НЕ СУЩЕСТВУЕТ

Хмах

У

Х

?

изменения функции
- 2
3
+
-
+

у = кх +в называется асимптотой графика функции у =

Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции
у = f(x), если lim f(x) = ∞
х→ а
Прямая у = в является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x), если
lim f(x)=b
х→∞
Прямая у = кх + в является наклонной асимптотой графика функции у = f(x), если lim f(x) =к
х →∞ х
lim ( f(x)─kx ) = b
Х→∞

х

У у = в

У= f(x)

у

0

а

Х = а

М.

.М

0 Х

У = f(x)

. М

у = кх + в

y=f(x)

У

0

Х

ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА

отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке

f(b) у =f(x)


f(a)
f(xmin)
0 а Хmin в х
Хmax
maх f(x) = f (xmax)
[a;b]
min f(x) = f (xmin)
[a;b]

0 а Хmax в х

min f(x)=f(b)
[a;b]
max f(x)=f(xmax)
у [а;b]

0 а Хmin Хmax b х
maxf(x)=f(a)
[а;b] minf(x)=f(b)
[a;b]

у

f(xmax)

у

f(b)

f(a)

f(xmax)

у

f(a)

f(xmax)

f(xmin)

f(b)

непрерывной на отрезке
ЭТАПЫ


Найти производную
Найти на данном отрезке критические точки, т.е.

пример для функции у = 2x³-3x²-36x+5 на отрезке [0;4]

f ' (x)=6x²-6x-36
f '(x)=0 при х = -2 и при х = 3.
Отрезку [0;4] принадлежит только одна критическая точка: х = 3.

3. f (0)=5; f (3)=-76; f (4)=-59


4. max f(x)=f(0)=5; min f(x)=f(3)=-76
[0;4] [0;4]