Парная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях. Смысл и оценка параметров

параметров
часть значения у, которая объяснена уравнением регрессии

необъясненная

часть значения у
(или возмущение)

на переменную Y влияет не только переменная X, но и

ряд других переменных, которые не учтены в модели по следующим причинам:
мы знаем, что другая переменная влияет, но не можем ее учесть, потому как не знаем, как измерить (психологический фактор, например);
существуют факторы, которые мы знаем, как измерить, но влияние их на Y так слабо, что их не стоит учитывать;
существенные переменные, но из-за отсутствия опыта или знаний мы их таковыми не считаем.
Неправильная функциональная спецификация. Функциональное соотношение между Y и Х может быть определено неправильно. Например, мы предположили линейную зависимость, а она может быть более сложной.
Ошибки наблюдений и измерений.

f(x) соответствует некоторая кривая на плоскости. И по форме облака

наблюдений можно определить вид регрессионной функции.

и наблюдаемыми значениями у:
Наилучшей считается такая зависимость, для которой сумма

квадратов отклонений принимает минимальное значение, т. е.

быть осуществлен тремя методами:
– графическим (на основе анализа поля корреляции);
–

аналитическим (на основе изучения теоретической природы связи между исследуемыми признаками);
– экспериментальным (построение нескольких моделей различного вида с выбором наилучшей, согласно применяемому критерию качества).

метод наименьших квадратов (МНК)

или


Отсюда получаем систему уравнений:

Разделим оба уравнения

на n:

Подставляем во второе уравнение:

b.
2. Вычисляются теоретические значения ŷi = f(xi) с использованием этих

значений параметров.
3. Вычисляются остатки еi = ŷi – yi и сумма квадратов остатков S.
4. Вносятся изменения в одну или более оценку параметров.
5. Вычисляются новые теоретические значения ŷi, остатки еi и S.
6. Если произошло уменьшение S, то новые значения оценок используются в качестве новой отправной точки.
7. Шаги 4, 5 и 6 повторяются до тех пор, пока не будет достигнута ситуация, когда величину S невозможно будет улучшить (в пределах заданной точности).
8. Полученные на последнем шаге значения параметров а и b являются оценками параметров нелинейного уравнения регрессии.

Оценка параметров внутренне нелинейных моделей:

yi =

ŷi + εi

D(y) = D(ŷ) + D(ε)

(для парной регрессии m = 1);
n –

число единиц совокупности.

Если Fфакт > Fтабл, то Н0 о случайной природе связи отклоняется и признается статистическая значимость и надежность уравнения.
Если Fфакт < Fтабл, то Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость уравнения регрессии.

рода). Уровень значимости α обычно принимает значения 0,05 и 0,01,

что соответствует вероятности совершения ошибки первого рода 5% и 1%.
Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант:
k1 = m, k2 = n - m -1

корреляции:

их значений с величиной случайной ошибки:
Если tфакт > tтабл, то

Н0 отклоняется, т.е. a, b, r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х.
Если tфакт < tтабл, то Н0 не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b, r.

определяемого показателя с заданной вероятностью.
Доверительные интервалы для параметров a и

b уравнения линейной регрессии определяются соотношениями:

;

в получении прогнозного значения у, которое определяется путем подстановки в

уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения х.
Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза.
При построении доверительного интервала прогноза используется стандартная ошибка прогноза:

Строится доверительный интервал прогноза: