Икосаэдр и октаэдр 11 класс

учитель высшей категории Коваленко С. В.
Икосаэдр и октаэдР
МОУ «Гимназия №2

города Гурьевска»

Гурьевск, 2008

выяснить, сколько звёздчатых форм имеет икосаэдр и октаэдр;
собрать информацию об

икосаэдре и октаэдре;
расширить математический кругозор.

Задачи:

установить связь икосаэдра и октаэдра с природой;
изготовить развёртки некоторых звёздчатых форм, их модели.

по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека

формы»
Э. Геккель

соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной

ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников.
Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками.

могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны (ПЯТИУГОЛЬНИКИ)

Р, Г – числа вершин, рёбер и граней многогранника соответственно.
Эта

формула связывает числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника

Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр

— Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб — Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр — Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.

грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая

из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300°. У икосаэдра 30 ребер. Сумма длин всех ребер равна 30а. Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через

середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии.

растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих

на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

или архимедовых тел (считается, что их впервые описал Архимед). Оригинальная

работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до нас, что называется, «из вторых рук».
Сейчас доподлинно известно, что первым открыл и подробно описал архимедовы тела (не зная, конечно, что это уже было сделано Архимедом), в частности 5 усечённых Платоновых тел: усеченные тетраэдр, куб, октаэдр, додэкаэдр и, что важно непосредственно для нас, усечённый икосаэдр, Пьеро делла Франческа.
В его рукописи «О пяти правильных телах» («Libbelus de quinque corporibus regularibus»), датированной 1480 г., обнаружено старейшее из дошедших до наших дней изображений усеченного икосаэдра.
Усеченный икосаэдр — один из 13 архимедовых многогранников или архимедовых тел (считается, что их впервые описал Архимед). Оригинальная работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до нас, что называется, «из вторых рук».сейчас доподлинно известно, что первым открыл и подробно описал архимедовы тела (не зная, конечно, что это уже было сделано Архимедом), в частности 5 усечённых Платоновых тел: усеченные тетраэдр, куб, октаэдр, додэкаэдр и, что важно непосредственно для нас, усечённый икосаэдр, Пьеро делла Франческа.
В его рукописи «О пяти правильных телах» («Libbelus de quinque corporibus regularibus»), датированной 1480 г., обнаружено старейшее из дошедших до наших дней изображений усеченного икосаэдра.

«Божественная пропорция» французского монаха и математика Луки Пачоли (1509 год).

Метод жёстких рёбер.

дело в экономии — экономии генетической информации.
Дело в том, что

по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них именно икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов
Так «решают» вирусы сложнейшую задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур.

Икосаэдр в природе

водорода типа С60,С70,С76,С84. Молекула фуллерена С60 - усеченный икосаэдр с

атомами углерода в вершинах. Он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 60 вершин и 90 ребер (60 на границе пяти- и шестиугольников и 30 на границе только шестиугольников).
интересны своими уникальными свойствами. Одни из них можно использовать в качестве твердой смазки. Другие царапают алмаз также легко, как алмаз - стекло.
перспективны для использования в оптике, электронике, как основа высокопрочных материалов и т. д.

Фуллерены

Скорее всего, такая природная геометризация феодарий вызвана уникальной

формой этого многогранника (напоминаем, что он имеет наибольший объём при наименьшей площади), помогающей морскому организму преодолевать давление водной толщи: большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок.

продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим множеством отсеков -

частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Кокстер доказал, что всего существует 59 звездчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией.

ему необычайно привлекательный вид.

форм соединения пяти тетраэдров.

склеиваются из показанных на следующем слайде заготовок. Каждая часть представляет

собой невысокую треугольную пирамиду без основания.

высокие пики, выступающие из впадин модели соединения десяти тетраэдров.

одна грань пятиугольного пика. Два малых треугольника внизу, отогнутые и

склеенные вместе, образуют небольшой желобок. Пять таких заготовок склеиваются в пятиугольный пирамидальный пик, от основания которого отходят пять желобков.

дельтаэдров. Для дельтаэдров характерно, что все их грани представляют собой

равносторонние треугольники. Каждую грань этого звёздчатого многогранника образуют три равносторонних треугольника. Сам многогранник внешне напоминает додекаэдр и даже содержит его рёбра, но на самом деле является звёздчатой формой икосаэдра.

место которых заняли пятигранные впадины с правильными треугольными гранями. Что

это так, подсказывает простой способ построения модели. Каждая пятигранная впадина образует одну часть: все части соединяются между собой в той же последовательности, что и при построении модели додекаэдра.

правильного додекаэдра, роль рёбер которой выполняют наши отсеки.
Эта модель

— первый пример многогранника с открытой внутренней частью.

на большой икосаэдр (который будет рассмотрен ниже). Пятая форма особенно

интересна: она служит примером многогранника, вершины которого связаны только отсеками.

ней легко обнаружить 12 длинных пиков, выступающих из впадин модели

дельтаэдра (третья звёздчатая форма икосаэдра)

из которых имеет форму шестигранного невысокого пика

также весьма сходного с большим икосаэдром. В действительности наш многогранник

можно представить в виде большого икосаэдра с удалёнными клинообразными частями, стягивающими основания вершинных частей.

короче, но эта состоит всего лишь из двенадцати таких пиков.

нового типа отсеков — наклонных пиков. Это единственный тип отсеков,

имеющих две энантиоморфные модификации; каждая из них состоит из 60 коротких трёхгранных пирамидок.

12 длинными пиками, основание каждого из которых окружено пятью более

короткими пиками. Эти части легко узнать — они уже встречались в предыдущих формах.

граням, обладает обычной симметрией додекаэдра, но характерен большими пятиугольными отверстиями,

пронизывающими его насквозь и оставляющими как бы открытым изнутри.

и умением работать внутри многогранника.
. При изготовлении этой модели потребовалось известное

терпение и аккуратность в работе, ибо соединение частей здесь крайне запутано и усложнено.

и потому весьма привлекателен. Многогранник состоит из 60 небольших пиков,

расположенных так, что нутро его остаётся пустым и видно сквозь узкие щели.

указаны наклейки и особый разрез, который необходимо сделать на каждой

заготовке. Все наклейки подгибаются, как обычно, и из заготовки склеивается небольшой пик в виде треугольной пирамиды. Пять таких пиков соединяются вместе в форме обычной пятигранной впадины, из центра которой исходят пики. При этом в разрез каждой пирамиды входит свободная наклейка соседней, которая и связывает их. Для склеивания надо либо слегка сдавить пальцами края разреза, либо прибегнуть к помощи пинцета, прижимая им наклейки к внутренней поверхности другого пика.

самым красивым и декоративным является большой икосаэдр — последний из

четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера — Пуансо. Его вершины представляют собой центры правильных пятиугольных звёзд, выступающих из тела многогранника.

и, если следовать предлагаемому методу построения, модель окажется очень прочной

и жёсткой, хотя и полой внутри. Каждая часть состоит из пяти пар заготовок, соединённых в своеобразный веер. Его следует перегнуть на манер гармошки так, чтобы вниз опустились внутренние рёбра каждой пары, а соседние рёбра разных пар приподнялись.

форма икосаэдра. Она образована присоединением к нему (икосаэдру) всех  отсеков,

получаемых при продолжении граней икосаэдра. Модель как бы ощетинена иглами, группирующимися по пять в красивые и отчётливо заметные гроздья. Вся модель состоит из 12 таких гроздьев.

граней, 12 рёбер, 6 вершин. Каждая его вершина является вершиной

четырёх треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

приходится один октаэдр. Так они могут заполнить пространство без пустот.

Октаэдры в ней разделены на 2 части по диагональному сечению. На следующих двух слайдах представлена часть возможных состояний змеи (фигур).

г – «мяч»; д – пирамида; е – «дзот»; ж

– треснувший куб; з – «шалаш»; и – «шлем»; к – цветок; л – «шоколад»; м – соты; н – «ваза 1»; о – ваза 2»; п – «дракон»; р – кристалл; с – «шкатулка»; т – «тюльпан»; у – «большая шкатулка»; ф – «гусеницы»; х – усеченный тетраэдр; ц– «уж»; ч – «снежинка»; ш – «щетка»; щ – «пружина»; э – винт.

Западный Овертон, 24 июня 1999 года  
Трехмерный октаэдр Овертона

 

Трудность демонстрации вращающихся твердых тел в символах кругов на полях состоит в том, чтобы изобразить в двух измерениях четыре (или более) измерений.  Беря из этого круга на полях только пути (убирая маленькие шестиугольники и рассматривая большие шестиугольники как точки на линиях) и сворачивая по линиям, мы получаем трехмерный октаэдр. 

поскольку, в отличие от других многогранников, она у него всего

одна. Это геометрическое тело описал в 1619 году Иоганн Кеплер и назвал его stella octangula (восьмиугольная звезда). Звездчатый октаэдр - это восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра, образующих в пространстве столько же новых отсеков в форме тетраэдров, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра.

о Платоновых телах;
намного больше, чем по школьной программе, узнали о

них, в частности, что следует из нашей темы, об икосаэдре и октаэдре, о том, насколько часто они встречаются в живой и неживой природе;
выяснили, что икосаэдр имеет целых 59 звёздчатых форм, а октаэдр всего одну.
изготовили развёртки и построили модели некоторых из них.
значительно расширили свой математический кругозор
в дальнейшем работа будет дополнена и представлена для участия в конкурсе.