Использование метода координат в пространстве для решения заданий С2 на ЕГЭ

ЕГЭ

математики высшей категории Хабибуллина А.Я

декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их

длин и углов между ними).
Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель моей работы: научиться применять знания для решения задач стереометрии (С2).

следующему:
Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат

и наглядности изображения.
Находим координаты необходимых для нас точек.
Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

скрещивающимися прямыми,
угол между прямой и плоскостью,
угол между двумя

плоскостями,
расстояние между двумя скрещивающимися прямыми,
расстояние от точки до прямой,
расстояние от точки до плоскости.

им и проходящими через произвольную точку.
При нахождении угла между

прямыми используют формулу или в координатной форме


для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы и параллельны соотвественно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы или .

призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2, высота — 4. Точка E —

середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и B1E.

D
E
B
z

B1

C1

A1 D1

Поместим параллелепипед в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке, и найдём искомый угол как угол между векторами. Выпишем координаты точек B1, E, C, F в этой системе координат: B1 (0; 0; 4), E(1; 2; 0), C (0; 2; 0), F (2; 1; 0).

Тогда {2; -1; 0}, {1; 2; -4}. Найдём угол между этими векторами по формуле:

То есть искомый угол α=90˚.
Ответ: 90˚.

прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на

данную плоскость.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:
1) по формуле ;

2) по формуле
или в координатах


, где

- вектор нормали к плоскости α,
- направляющий векор прямой l

ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2.

Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ1С.

вид
ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали

к плоскости.
Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а=-d, b= , c=-d. Таким образом, уравнение примет вид
или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

равно необходимы. Из простых вычислений находим, что

.
Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

Ответ: 45˚

при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
Угол между двумя

пересекающимися плоскостями можно вычислить:
по формуле
как угол между нормалями по формуле

или в координатной форме

где - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,
- вектор нормали плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

найдите угол между плоскостями АD1 Е и D1FC, где точки

Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1.

1) Решая систему
составляем уравнение плоскости АD1E: x+2y-z=0.
2)

плоскость CFD1:

отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0.

Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей:

, откуда φ=60˚

Ответ: 60˚

,
где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2);

2) по формуле .

лежит ромб со стороной 2 и острым углом в 60˚.

Боковое ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды и равно 4. Найдите расстояние от середины Н ребра SD и серединой М ребра ВС.

Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0;

0; 4), D(0; 2; 0).

Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВх=ACx=2·cos30˚= ,
ABy=ACу–2=2·cos60˚=1.

Отсюда В( ;1;0), С( ;3;0). Тогда координаты точки М равняются:

Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами:

Ответ:

ребер АА1 и СD соответственно, а точка М расположена на

диагонали В1D1 так, что В1М = 2МD1. Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK.

координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит

отрезок B1D1 в отношении λ=2:1:

Аналогично находим координаты точки L:

длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние от

точки М до плоскости α

вычисляется по формуле , где ρ=ρ(М;α), ρ1=ρ(М1;α), ОМ=r, ОМ1=r1, ММ1∩α=0; в частности, ρ=ρ1, если r=r1: прямая m, проходящая через точку М, пересекает плоскость α в точке О, а точка М1 лежит на прямой m;
вычисляется по формуле ,

где М(х0;у0;z0), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0;

проведена диагональ B1D. В каком отношении, считая от вершины B1,

плоскость А1BC1 делит диагональ B1D?

до каждой из точек B1 и D. Пусть l –

ребро куба. В(0;0;0), А1(l;0;l), С1(0;l;l).

Решив систему

определяем, что уравнение плоскости имеет вид: x+y–z=0 → а=1, b=1, c= –1. B1(0;0;1), D(1;1;0).

Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле

Ответ: 2:1.

равнобедренный треугольник АВС, основание АС и высота ВD которого равны

4. Боковое ребро равно 2. Через середину К отрезка В1С проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости.

вершин данной призмы и точки К в этой системе координат:

А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В1(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К. То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0.

Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости:

Ответ: .

методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных

теорем), координатным методом получаются в ходе несложных алгебраических вычислений. Нам не нужно задумываться, к примеру, как проходит та или иная плоскость, как упадет перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, каким образом скрещивающие прямые перенести, чтобы они были пересекающимися и т.д. Нам просто надо поместить тело в прямоугольную систему координат, определить координаты точек, векторов или плоскостей и воспользоваться формулой.