Координатный метод при решении задач Стереометрии 11 класс

метод при решении задач
Стереометрии

Разработала
учитель математики
Даровских Ирина Михайловна
Г. Владимир 2014 

между прямой и плоскостью;
угол между скрещивающимися прямыми;
угол между плоскостями;
комбинированные задачи,

в которых известно данное одного типа, а найти нужно данное другого или других типов.

координат, а затем – вычисление длин образующихся векторов или углов

между ними.  

удобства выражения координат и наглядности изображения.
Найти координаты необходимых точек.
Решить задачу,

используя основные задачи метода координат.
Перейти от аналитических соотношений к геометрическим.

М1М2{х2-х1;у2-у1;z2- z1};

(1)

|М1М2|=√ (х2-х1)2+(у2-у1)2+(z2- z1)2 (2)

Если М(х;у;z) - середина отрезка М1М2, то

Х= (3)

а ·в =а 1·

b 1+а 2· b 2+а 3· b 3; (4)
а ·в =|а|·|в|· (5)
= = (6)

(7)

b2; b3):

(8)
Уравнение сферы с центром в т.С(х0;у0;z0) и радиусом r имеет вид:
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2; (9)

равна

С

В

D

А

φ

,

где М(х0,у0,z0) , а
вектор является направляющим
Уравнение прямой, заданной 2-мя точками: М1(х1;у1;z1) и

М2(х2;у2;z2) имеет вид:

Уравнение плоскости, заданной точкой М(х0,у0,z0) и вектором нормали (любым ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости):
Ах+Ву+Сz+D=0, где D=-(Ax0+Bу0+Сz0)

плоскость α задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, то расстояние от точки М

до плоскости α вычисляется по формуле:

или скрещивающимися), если направляющие векторы этих прямых известны.
Пусть а (a1;а2;а3),

b (b1; b2; b3) – направляющие векторы этих прямых, а φ – искомый угол. Обозначим через .
Тогда φ= , если ≤ 900 ,
либо φ= 1800 - , если > 900. Поэтому либо cosφ = cos , либо cosφ =-cos .
В любом случае , а т.к. φ ≤ 900, то cos φ ≥0, и, следовательно, cosφ= .
Получаем:

=

cosφ=

=

если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора,

перпендикулярного к плоскости.

Пусть - направляющий вектор прямой ,
– ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости π
Тогда

Точки M и H лежат на ребрах A1B1 и AB

соответственно, причем A1M:MB1=1:3, AH:HB=3:1.
Найти градусную меру угла между прямыми MH и KC1.

высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра

SA.
Найдите квадрат тангенса угла между прямыми SD и BF.

Определим координаты точек S, D, B и F.

Дано: SABСD –

правильная пирамида SO=AC; AF=FS Найти:

F

(0;-1;0)

(0;1;0)

(0;0;2)

(-0,5;0;1)

Решение:

и BC=6. Высота призмы равна 10.
Найдите объем пирамиды с вершинами

в точке C1 и серединах ребер BC, BB1 и A1B1.

– прямоугольный, ∠B=900 AB=4, BC=6, BB1=10 Найти:

VC1FMN

(0;3;0)

(0;0;5)

(-2;0;10)

1. Введем прямоугольную систему координат.

4. Подставим в уравнение плоскости FNM mx+ny+cz+d=0 координаты точек M, N и F:

длину.
Точка M – середина ребра AD, точка O –

центр треугольника ABC, точка N - середина ребра AB и точка K – середина ребра CD.
Найдите угол между прямыми MO и KN.

середина AD, O – центр ∆ABC, N – середина AB,

K- середина CD Найти: угол между MO и KN.

1. Примем длину ребра тетраэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы

2. Составим таблицу умножения для этого базиса (Таблица 1).

M

O

K

N

Таблица 1

6. Пользуясь таблицей 1, получим:

геометрических конфигураций.
Все те соотношения, которые при решении традиционным методом

даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений.
Сводит геометрическую задачу к алгебраической, решить которую обычно легче, чем исходную геометрическую
Недостаток – это большой объем вычислений.

пространстве ALFA,1998
Беккер Б.М., Некрасов В.Б. Применение векторов к решению задач.

С-П:, 1997
Гельфанд И.М. Метод координат.- М.: Наука, 1973
Гущин Д.Д. Материалы вступительных экзаменов по математике. Для поступающих в СПбГУ,2003
Журналы «Математика в школе», «Квант».
Метод координат. Методическая разработка для уч-ся заочного отделения МГУ им. М.В.Ломоносова М.,2008
Прасолов В.В.,Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии Москва, «Наука»,1989г.
Севрюков П.Ф.,Смоляков А.Н. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии