Объём прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра

свойства объёмов; теорему об объёме прямоугольного параллелепипеда и следствие о

прямой призме, основание которой прямоугольный треугольник, вывести формулу объёма цилиндра.

которого равно единице измерения отрезков.

Куб с ребром 1см называют кубическим сантиметром, обозначают . Аналогично определяются кубический метр , кубический миллиметр .

Свойства объёмов:

Равные тела имеют равные объёмы.
Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Объём куба с ребром равен

Следствие 1:
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на

высоту.

Следствие 2:

Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Дано:

– прямая треугольная призма,

Доказать:

Доказательство:

высоту.
1.

– прямая треугольная призма с объёмом V и высотой h. Проведём такую высоту треугольника АВС (BD), которая разделяет треугольник на два треугольника. (BB1D) разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC.

Т. е.

2. Произвольную призму разобьём на треугольные призмы с высотой h.

основания цилиндра.
Призма описана около цилиндра, если её основания описаны около

оснований цилиндра.

Высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра

Теорема: Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

правильную n–угольную призму Fn, а в эту призму впишем цилиндр

Рп. Пусть V – объём цилиндра Р, Vn – объем цилиндра Рп; rп радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы Fn равен Sn∙h, где Sn — площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn, которая, в свою очередь, содержит цилиндр Рп, то Vn < S n ∙ h < V. (2)
Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп цилиндра Рп стремится к радиусу r цилиндра Р

h

Цилиндр

Поэтому объём цилиндра стремится к объёму цилиндра Р:

Рп

Из неравенства (2) следует, что

Но

Т.е.

Итак, объём цилиндра равен: