Параллелограмм

четырехугольник,
у которого противоположные стороны попарно параллельны.

углы равны.
∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4
ВС = AD, АВ

= ОС
О – точка пересечения диагоналей

180°.
∠А + ∠D = 180° ,
∠D + ∠C = 180°

∠А + ∠B = 180° ,

∠В + ∠C = 180° ,

то этот четырехугольник параллелограмм.
АВСD – четырехугольник,
АВ = CD, АВ

АВСD – параллелограмм

Доказательство

АС.
Рассмотрим треугольники
∆ АBC и ∆ACD:
∆ АBC = ∆ACD

1

2

3

4

Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых
ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD.

Таким образом, если в четырехугольнике противоположные
стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD -
параллелограмм.

четырехугольник - параллелограмм.
АВСD – четырехугольник,
АВ = CD, ВС =

АВСD – параллелограмм

Доказательство

∆ АBC и ∆ACD:
∆ АBC = ∆ACD – по

Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС.
Отсюда следует, что АВ ∥ СD.

Проведем диагональ АС.

Так как АВ ∥ СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
АВСD – четырехугольник,
ВО = ОD,

АВСD – параллелограмм

Доказательство

АС и BD.
Рассмотрим треугольники
∆ АОB и ∆CОD:
∆ АОB

Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2.

Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD.

Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ ∥ CD,
то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

треугольники ∆ АBC
и ∆ACD:
1. ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD

следовательно ∆ АBC = ∆ACD – по
стороне и двум прилежащим углам;
поэтому ВС = AD.

2.Так как ∠BАC = ∠ACD – накрест лежащие углы при
параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD.

3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD, то по 1-му признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача

параллелограмме противоположные
стороны и углы равны.
Докажите, что в параллелограмме