Скрещивающиеся прямые 10 класс

скрещивающихся прямых.

плоскости
Теорема:
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а

другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой

AB. Докажем, что AB и CD-скрещивающиеся прямые, т.е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые AB и CD лежат в некоторой плоскости бетта. То плоскость бетта будет проходить через прямую AB и точку С и поэтому совпадает с плоскостью альфа. Но это не возможно т.к. прямая CD не лежит в плоскости альфа. Теорема доказана.

прямой, и при том только одна.
Доказательство:
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AD и

СD. Докажем, что через прямую AB проходит плоскость, параллельная прямой CD, и такая плоскость только одна.
Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой альфа плоскость, проходящую через прямые AB и AE.

параллельна прямой АЕ , лежащей в этой плоскости, то прямая

CD параллельна плоскости альфа.
Ясно, что плоскость альфа-единственная плоскость, проходящая через прямую AB и параллельная прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую AB, пересекается с прямой AE, а значит пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана.

о равенстве углов с сонаправленными сторонами.

разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями
Прямая а называется

границей каждой из этих полуплоскостей.
Два луча ОА и О1А1, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежать в одной полуплоскости с границей ОО1.
Лучи ОА и О1А1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

AB и CD

углы О и О1 с соответственно сонаправленными сторонами и докажем,

что угол О=углу О1.
Отметим на сторонах угла О точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла О1 отрезки О1А1=ОА и О1В1=ОВ.
Четырехугольник ОО1А1А-параллелограмм, т.к. противоположные стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. Отсюда следует , что АА1||ОО1 и АА1||ОО1. Аналогично четырехугольник ОО1В1В-параллелограмм, поэтому ВВ1||ОО1 и ВВ1=ОО1. Т.к. АА1||ОО1 и ВВ1||OO1, то по теореме о трех параллельных прямых АА1||ВВ1. кроме того, АА1=ОО1=ВВ1. таким образом, в четырехугольнике АВВ1А1 противоположные стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник-параллелограмм, и значит, стороны А1В1 и АВ равны. Сравним теперь треугольники АОВ и А1О1В1. Они равны по трем сторонам, и поэтому угол О=углу О1. Ч.Т.Д.

8, №№35,37,40