методы решения логарифмических уравнений

«Бельская СОШ»
г. Белого Тверской области

a>0, , называется показатель степени, в которую

надо возвести a, чтобы получить b.

по определению логарифма
метод потенцирования
метод подстановки
метод логарифмирования



решение по

формуле

входящих в уравнение
Утверждение1
Если область допустимых

значений уравнения пустое множество, то уравнение не имеет корней.
Например:

 

ОДЗ

Ответ : корней нет.

значений, то корни уравнения содержатся среди этих значений.
Это условие является

необходимым, но не является достаточным.
Поэтому необходима проверка.
Пример.
+

ОДЗ

= -1 получаем 0=2. Равенство неверно. Значит х

= -1 не является корнем уравнения. При х=1 получаем 0=0. Значит х=1 - корень уравнения. Ответ:1

решения
Находим ОДЗ уравнения.

2) Если ОДЗ - пустое множество, то

уравнение не имеет корней.
Если ОДЗ - конечное множество значений, то эти значения надо подставить в уравнение.

на некотором промежутке , то уравнение ƒ(х) = c

имеет на этом промежутке не более одного корня.

Пример:
log3 x + log8 (5 + x) = 2
ОДЗ: х > 0
5 + x > 0 0 < x < 5
Подбором находим корень уравнения x = 3.
Т.к. функция ƒ(х) = log3 x + log8 (5 + x) – есть сумма двух возрастающих функций, то она возрастающая.
Значит тогда данное уравнение имеет единственный корень.
  Ответ: 3.

функция ƒ(х) возрастает, а функция g(х) убывает, то

уравнение ƒ(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня.
Пример:
log0,5 8/х = 2 – 2х
ОДЗ: x > 0
Подбором находим корень уравнения x = 2.
Функции: y1 (x)= 8/х и y2 (x) = log0,5 x – убывающие
Функция ƒ (x) = y1(y2(x)) = log0,5 8/х - возрастающая
(как убывающая функция от убывающей)
Функция g(x) = 2 – 2x – убывающая
Тогда данное уравнение имеет единственный корень.
 
Ответ: 2

*

что корень единственный.

*

множества значений этих функций.
Утверждение 1.
Если пересечение множеств

значений функций f(x) и g(x) пусто ( E(ƒ)∩ E(g)=Ø ),то уравнение f(x)= g(x) не имеет корней.
Пример:
Рассмотрим функции f(x)= и g(x)=
Найдём их области значений.
Е(f): Е(g):

E(ƒ)∩ E(g)=Ø

Ответ: нет корней

M, а g(x)≥M, то уравнение
f(x)= g(x) равносильно системе уравнений

Пример

*

Ответ: 0

X=0

равенство f(x)= g(x) возможно тогда и только тогда, когда f(x)

и g (x) одновременно будут равны M, т.е.

f(x)= g(x)
Можно решить одно уравнение системы и полученный корень подставить в другое уравнение.

*

Пройдите по ссылке:
Логарифмические уравнения.

Логарифмические уравнения.exe

*

Критерии оценки

3 б. – «3», 4-5 б. – «4», 6 б. – «5»

ещё пару примеров.
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Рефлексия