за исключением случаев сильного вырождения,
можно разделить на пять классов:
эллипсоиды,
гиперболоиды,
параболоиды,
конусы
цилиндры.
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Поверхности второго порядка
Содержание
- 1. Поверхности второго порядка
- 2. Определение Уравнение поверхности - уравнение видаЗамечание Поверхности
- 3. в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка
- 4. Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и
- 5. Эллипсоиды Определение Эллипсоид – поверхность, которая в
- 6. Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение
- 7. Величины a, b и c называются полуосями
- 8. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА 1) Сечения плоскостями x = h:
- 9. 3) Сечения плоскостями y = h:
- 10. 3) Сечения плоскостями z = h:
- 11. Сфера Определение Сфера в пространстве - геометрическое
- 12. Слайд 12
- 13. Гиперболоиды Определение Двухполостный гиперболоид – поверхность, которая
- 14. Замечание Шуховская башня расположена в Москве на
- 15. Гиперболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место
- 16. Величины a, b и c называются полуосями
- 17. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА 1) Сечения плоскостями
- 18. 3) Сечения плоскостями y = h:
- 19. 3) Сечения плоскостями z = h:
- 20. Замечание. Уравнения определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.
- 21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек
- 22. Величины a, b и c называются полуосями
- 23. Двуполостный гиперболоид имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.
- 24. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДВУПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА 1) Сечения плоскостями
- 25. 2) Сечения плоскостями y = h:
- 26. 3) Сечения плоскостями z = h: Это уравнение
- 27. Замечание. Уравнениятоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.
- 28. Параболоиды
- 29. Параболоиды Определение Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением
- 30. ПараболоидыОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек
- 31. Величины a и b называются параметрами параболоида.
- 32. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА 1) Сечения плоскостями
- 33. 2) Сечения плоскостями y = h: При любом
- 34. 3) Сечения плоскостями z = h: Это уравнение
- 35. Замечания: 1) Уравнение тоже определяет эллиптический параболоид, но
- 36. Определение Гиперболический параболоид – поверхность определяемая
- 37. Величины a и b называются параметрами параболоида.Гиперболический
- 38. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек
- 39. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА 1) Сечения плоскостями
- 40. 2) Сечения плоскостями y = h: При любом h
- 41. 3) Сечения плоскостями z = h: Это уравнение определяет
- 42. Замечания: 1) Уравнение тоже определяет гиперболический параболоид, но
- 43. Цилиндрические поверхности второго порядкаОпределение Цилиндрическая поверхность -
- 44. Классификация цилиндрических поверхностей второго порядкаЭллиптический цилиндрПараболический цилиндр
- 45. Гиперболический цилиндр
- 46. ЦилиндрыОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую
- 47. Замечание Цилиндр в некоторой декартовой системе координат
- 48. Цилиндры
- 49. Конические поверхности 2-го порядкаОпределение Коническая поверхность- поверхность,
- 50. Конус ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек
- 51. Величины a, b и c называются полуосями
- 52. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОНУСА 1) Сечения плоскостями x = h:
- 53. 2) Сечения плоскостями y = h: Это уравнение
- 54. 3). Сечения плоскостями z = h: Это уравнение
- 55. Замечание. Уравнения тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.
- 56. Скачать презентанцию
Определение Уравнение поверхности - уравнение видаЗамечание Поверхности второго порядка, за исключением случаев сильного вырождения,
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2
Определение Уравнение поверхности - уравнение вида
Замечание Поверхности второго порядка,
можно разделить на пять классов:
эллипсоиды,
Слайд 3в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид
поверхности 2-го
порядка
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+
+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .
Поверхности второго порядка делятся на
1) вырожденные 2) невырожденные
Слайд 4Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются
уравнением второй степени.
Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.
Эллипсоиды
гиперболоиды,
параболоиды,
конусы
цилиндры.
Слайд 5Эллипсоиды
Определение Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных
координат, определяемая уравнением
Эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной
из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидомэллипсоид есть сфера
полуоси эллипсоида,
если они различны,
то эллипсоид
трехосный
Слайд 6Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его
канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида
Эллипсоид
где a, b, c – положительные константы.Эллипсоид имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.
Слайд 7Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.
Если все
они различны, то эллипсоид называется трехостным.
Если две из трех полуосей
равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.
Слайд 8ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА
1) Сечения плоскостями x = h:
Это уравнение определяет
а) при | h |
| h |,тем меньше полуоси эллипса);
б) при | h | = a – точку A2,1(±a; 0; 0);
в) при | h | > a – мнимую кривую.
Слайд 93) Сечения плоскостями y = h:
Это уравнение
определяет
а) при | h |
больше | h |, тем меньше полуоси эллипса);
б) при | h | = b – точку B2,1(0; ±b; 0);
в) при | h | > b – мнимую кривую.
Слайд 103) Сечения плоскостями z = h:
Это уравнение
определяет
а) при | h |
больше | h |, тем меньше полуоси эллипса);
б) при | h | = c – точку C2,1(0; 0; ±c);
в) при | h | > c – мнимую кривую.
Слайд 11Сфера
Определение Сфера в пространстве - геометрическое место точек, одинаково
удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы.
уравнение сферы радиуса
Сфера с центром в начале координат есть уравнение
Замечание Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой
Слайд 13Гиперболоиды
Определение Двухполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых
прямоугольных координат, определяется уравнением
Определение Однополосный гиперболоид –
поверхность, которая в
некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением
Слайд 14
Замечание Шуховская башня расположена в Москве на улице Шаболовка. Построена
в 1919—1922г. русским архитектором Владимиром Григорьевичем Шуховым (1853—1939).
Шуховская башня
имеет конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка. По форме секции башни — это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся концами в кольцевые основания.
Такие конструкции часто употребляются для устройства высоких радиомачт, водонапорных башен
Слайд 15Гиперболоиды
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты
которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
где a, b, c – положительные константы.Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Замечание Однополостный гиперболоид имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.
Слайд 16Величины a, b и c называются полуосями однополостного гипер-
болоида.
Если
a = b, то однополостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он
получается в резуль- тате вращения вокруг своей мнимой оси гиперболы
Слайд 17ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА
1) Сечения плоскостями x = h:
Это уравнение
определяет
а) при | h |
действительной осью || Oy; б) при | h | > a – гиперболу, с действительной осью || Oz;
в) при | h | = a – пару прямых.
Слайд 183) Сечения плоскостями y = h:
Это уравнение определяет
а) при | h |
осью || Ox;б) при | h | > b – гиперболу, с действительной осью || Oz;
в) при | h | = b – пару прямых.
Слайд 193) Сечения плоскостями z = h:
Это уравнение определяет
эллипс при любом h.
При h = 0 полуоси эллипса будут наименьшими.
Этот эллипс называют горловым эллипсом
однополостного гиперболоида.
Слайд 20Замечание.
Уравнения
определяют однополостные гиперболоиды,
но они «вытянуты» вдоль оси
Oy и Ox соответственно.
Слайд 21ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых
в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
где a, b,
c – положительные константы.Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат,
а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Слайд 22Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гипербо-
лоида.
Если
a = b, то двуполостный ги- перболоид является поверхностью вращения. Он
получается в резуль- тате вращения вокруг своей действительной оси гиперболы
Слайд 23
Двуполостный гиперболоид имеет центр симметрии
O(0; 0; 0)
и три плоскости симметрии
xOy, xOz, yOz.
Слайд 24ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДВУПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА
1) Сечения плоскостями x = h:
При любом h это уравнение определяет гиперболу, с действительной осью
|| Oz.
Слайд 252) Сечения плоскостями y = h:
При любом
h это уравнение определяет гиперболу, с действительной осью || Oz.
Слайд 263) Сечения плоскостями z = h:
Это уравнение определяет
а) при | h | > c – эллипс (причем, чем
больше | h |,тем больше полуоси эллипса);
б) при | h | = c – точку C2,1(0; 0; ±c);
в) при | h | < c – мнимую кривую.
Слайд 27Замечание.
Уравнения
тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси
Oy и Ox соответственно.
Слайд 29Параболоиды
Определение Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой системе
декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением
Слайд 30Параболоиды
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых
в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
где a, b –
положительные константы.Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии xOz, yOz.
Слайд 31Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется
вершиной параболоида.
Если a = b, то параболоид является
поверхностью вращения. Он получа-
ется в результате вращения вокруг оси Oz параболыЭллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).
Слайд 32ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА
1) Сечения плоскостями x = h:
При любом
h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви
направлены вверх, параметр p = b2. При h ≠ 0 вершина параболы смещена вверх.
Слайд 332) Сечения плоскостями y = h:
При любом h это уравнение
определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вверх, параметр
p = a2. При h ≠ 0 вершина параболы смещена вверх.
Слайд 343) Сечения плоскостями z = h:
Это уравнение определяет
а) при h > 0 – эллипс (причем, чем больше h,
тем больше полуоси эллипса); б) при h = 0 – точку O (0; 0; 0);
в) при h < 0 – мнимую кривую.
Слайд 35Замечания:
1) Уравнение
тоже определяет эллиптический параболоид, но «развер-
нутый» вниз.
2) Уравнения
определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.
Слайд 36
Определение Гиперболический параболоид – поверхность определяемая уравнением
Ввиду схожести гиперболический
параболоид
называют «седлом».
Гиперболический параболоид имеет две плоскости симметрии xOz, yOz.
Слайд 37
Величины a и b называются параметрами параболоида.
Гиперболический параболоид это поверхность,
которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы
скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).
Слайд 38ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых
в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
где a, b –
положительные константы.Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Слайд 39ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА
1) Сечения плоскостями x = h:
При любом
h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви
направлены вниз, параметр p = b2. При h ≠ 0 вершина параболы смещена вверх.
Слайд 402) Сечения плоскостями y = h:
При любом h это уравнение определяет
параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вверх, параметр p = a2.
При h ≠ 0 вершина параболы смещена вниз.
Слайд 413) Сечения плоскостями z = h:
Это уравнение определяет
а) при h ≠ 0 – гиперболу
при h > 0 – действительная ось
гиперболы || Ox, при h < 0 – действительная ось гиперболы || Oy;
б) при h = 0 – пару прямых .
Слайд 42Замечания:
1) Уравнение
тоже определяет гиперболический параболоид, но «развер-
нутый» вниз.
2) Уравнения
определяют гиперболические параболоиды, у которых «неподвижные параболы» лежат в плоскости
xOy и имеют оси Oy и Ox соответственно.
Слайд 43Цилиндрические поверхности второго порядка
Определение Цилиндрическая поверхность - поверхность, образованная прямыми
(образующими), параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию (направляющую).
Определение
Тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя сечениями, благодаря которым она была получена, называется цилиндром.
Слайд 44Классификация цилиндрических поверхностей второго порядка
Эллиптический цилиндр
Параболический цилиндр
Слайд 46Цилиндры
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая
образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей)
.Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.
Слайд 47Замечание Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в
которое не входит одна из координат.
Кривая, которую определяет это
уравнение в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра; а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты. 
Слайд 49Конические поверхности 2-го порядка
Определение Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими
конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную
линию (направляющую конуса).Конус
Слайд 50Конус
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых
в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
где
a, b, c – положительные константы.Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.
Конус имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz
Слайд 51Величины a, b и c называются полуосями конуса.
Центр симметрии
O называется вершиной конуса.
Если a = b, то конус
является по-
верхностью вращения. Он получа-
ется в результате вращения вокруг оси Oz прямой
Слайд 52ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОНУСА
1) Сечения плоскостями x = h:
Это уравнение определяет
а)
при h ≠ 0 – гиперболу, с действительной осью || Oz;
б)
при h = 0 – пару прямых. 
Слайд 532) Сечения плоскостями y = h:
Это уравнение определяет
а) при h ≠ 0 – гиперболу, с действительной осью || Oz;
б) при h = 0 – пару прямых.
Слайд 543). Сечения плоскостями z = h:
Это уравнение определяет
а) при h ≠ 0 – эллипс (причем, чем больше | h |,
тем больше полуоси эллипса); б) при h = 0 – точку O (0; 0; 0).
Слайд 55Замечание.
Уравнения
тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy
и Ox соответственно.
