Презентация по математике на тему:"Цепные дроби: скрытая красота".

Албековна студентка группы 1ТВ9
Руководитель:
Низамова Гульнара Ахмедовна преподаватель математики
2016-2017 учебный

год

интересна своим применением разнообразных задач. Цепные дроби – это вид

действительных чисел. Действительные числа однозначно отображается цепными дробями. Основное значение заключается в том, что зная цепную дробь, изображавшую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью. Недостатком цепных дробей является то, что для них никаких практически приемлемых правил арифметических действий не существует. Поэтому широкого применения они не получили.

Объект исследования – дроби.
Предмет исследования – значение цепных дробей.

Цель–изучение истории цепных дробей и применение их при решении заданий.

Задачи:
- изучить историю возникновения цепных дробей;
- исследовать свойства цепных дробей и возможные действия, производимые с ними;
- изучить способы решения заданий с данными дробями;
- найти алгоритмическую структуру, работающую по принципу цепной дроби;
- выяснить возможность геометрического изображения цепных дробей;
- выяснить возможность применения цепных дробей в других науках.

подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности,

которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.
Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бом-белли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях –

ничто, кроме числа.
Аврелий Августин, христианский теолог и философ

немецкий и российский 
математик и 
механик
(1707-1783).

в виде конечной цепной дроби. Числа, входящие в цепную дробь,

называются неполными частными. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби.

2. Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями.
Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби.

Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …]
Первые подходящие дроби – это самые известные приближения:

у пользователя знаменатель b и количество вложений n цепной дроби

вида

Преобразовывает ее в число и выдает результат в виде десятичной дроби.

n, k: integer;
b:real;
begin
write (' введите знаменатель дроби'); read

(b);
write (' введите кол-во вложений '); read (n);
for k:=1 to n do b:=1+1/b;
write (' искомое число = ', b); end.

Результаты работы программы
Цепная дробь преобразована в десятичную.
Ошибок не наблюдается.
+ Программа работает корректно.
– Результат представлен в виде десятичной дроби. В случае ее бесконечности компьютер округляет результат.

ввести число в виде десятичной дроби. Преобразовав его, выдает результат

вида

Program TO_FRACTION;
var a: array[1..100] of integer;
k, n: integer; x:real;
begin
write (' введите число '); read (x);
k:=1; a[1]:=trunc(x); k:=2;
while frac(x)<>0 do
begin
x:=1/frac(x) ; a[k]:=trunc(x); k:=k+1;
end;
n:=k; write (' искомое число x = [');
for k:=1 to n do write (a[k],',');
write (']');
end.

ошибка 101 – выход за пределы размерности массива
2.5

= [2,2,0,]
4.75 = [4,1,3,0,0,]

Описание ошибок

В большинстве случаев из-за округления бесконечных периодических десятичных дробей происходит накопление погрешности.
В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции trunс().
В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции frac().

Реализация алгоритма разложения действительного числа в цепную дробь

преподаватель Йельского Университета, научный сотрудник компании «IBM», Баттельский член Тихоокеанской

Национальной лаборатории.
(1924 - 2010 )

изучила много литературы о цепных дробях, научилась использовать их при

вычислении. Также в процессе работы я раскрыла свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.
В данном проекте работа показывает значение цепных дробей в математике. Зная цепную дробь, изображавшую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью, успешно применять к решению неопределенных уравнений. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.
Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределённых уравнений. Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.
Цель своей работы считаю достигнутой, так как в ходе исследования мною была: изучена история цепных дробей и применение их при решении заданий.
А в настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, и позволяют строить эффективные алгоритмы для решения задач.