Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

ИХ РЕШЕНИЯ
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Преимущества метода: -

все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра

все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра

все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра

все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра

все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра

О т в е т: 2.

3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА1

3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА1

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

3

4

3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА1

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

3

4

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n1 {0; 0; 1}

3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА1

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

3

4

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n1 {0; 0; 1}

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD1 не лежащих на одной прямой:
B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D1 (0; 0; 4)
и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D1M {-3; 0; 3}

3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА1

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

3

4

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n1 {0; 0; 1}

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD1 не лежащих на одной прямой:
B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D1 (0; 0; 4)
и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D1M {-3; 0; 3}

4. Найдем неизвестные координаты {a; b; c} нормального вектора n2 плоскости BMD1 из условия
n2 · BM = 0, 0 · a + 3 · b + (-1) · c = 0, 3b – c = 0,
n2 · D1M = 0; (-3) · a + 0 · b + 3 · c = 0; -3a + 3c = 0;

Выберем b = 1, получим c = 3, a = 3. Вектор n2 {3; 1; 3}

3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА1

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

3

4

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n1 {0; 0; 1}

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD1 не лежащих на одной прямой:
B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D1 (0; 0; 4)
и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D1M {-3; 0; 3}

4. Найдем неизвестные координаты {a; b; c} нормального вектора n2 плоскости BMD1 из условия
n2 · BM = 0, 0 · a + 3 · b + (-1) · c = 0, 3b – c = 0,
n2 · D1M = 0; (-3) · a + 0 · b + 3 · c = 0; -3a + 3c = 0;

Выберем b = 1, получим c = 3, a = 3. Вектор n2 {3; 1; 3}

5. Найдем косинус угла θ между плоскостями:

О т в е т:

в котором AB равно 12, AD равно √31. Найдите косинус

√31

12

в котором AB равно 12, AD равно √31. Найдите косинус

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

√31

12

в котором AB равно 12, AD равно √31. Найдите косинус

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n1 {0; 0; 1}

√31

12

в котором AB равно 12, AD равно √31. Найдите косинус

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n1 {0; 0; 1}

3. Нормальным вектором искомой плоскости можно считать вектор n2 =
Найдем его координаты.

BD1 ,

B (0; √31; 0) D1 (12; 0; 5) BD1 {12; -√31; 5}

12

в котором AB равно 12, AD равно √31. Найдите косинус

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n1 {0; 0; 1}

3. Нормальным вектором искомой плоскости можно считать вектор n2 =
Найдем его координаты.

BD1 ,

B (0; √31; 0) D1 (12; 0; 5) BD1 {12; -√31; 5}

12

4. Найдем косинус угла θ между плоскостями:

О т в е т:

равна 1, а боковое ребро равно 2. Точка M -

1

1

M

равна 1, а боковое ребро равно 2. Точка M -

1

1

M

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

равна 1, а боковое ребро равно 2. Точка M -

1

1

M

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точек D (1; 0; 0) A1 (0; 0; 2) C1 (1; 1; 2)
и векторов A1D {1; 0; -2}, A1C1 {1; 1; 0}

равна 1, а боковое ребро равно 2. Точка M -

1

1

M

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точек D (1; 0; 0) A1 (0; 0; 2) C1 (1; 1; 2)
и векторов A1D {1; 0; -2}, A1C1 {1; 1; 0}.

3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:
n · A1D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,
n · A1C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a;
Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1}

равна 1, а боковое ребро равно 2. Точка M -

1

1

M

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точек D (1; 0; 0) A1 (0; 0; 2) C1 (1; 1; 2)
и векторов A1D {1; 0; -2}, A1C1 {1; 1; 0}.

3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:
n · A1D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,
n · A1C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a;
Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1}

4. Найдем координаты точки M (0; 0; 1) и вектора MA1 {0; 0; 1}.

равна 1, а боковое ребро равно 2. Точка M -

1

1

M

Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точек D (1; 0; 0) A1 (0; 0; 2) C1 (1; 1; 2)
и векторов A1D {1; 0; -2}, A1C1 {1; 1; 0}.

3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:
n · A1D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,
n · A1C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a;
Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1}

4. Найдем координаты точки M (0; 0; 1) и вектора MA1 {0; 0; 1}.

О т в е т: