Тригонометрические уравнения и неравенства

Ключ

у π/2 90°
120° 2π/3 1 π/3 60°
135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°


180° π -1 0 1 0 0° x
- - -1/2 ½ 2π 360 (cost)


210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
-
225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]
240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

Примеры:

а

- а

arcsin(- а)= - arcsin а

Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.

что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
arccos(-

а) = π- arccos а

Примеры:

1)arccos(-1)

= π

-2≤ 2х ≤0
-1≤ х ≤0
Ответ:

[-1;0]

2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]

tg t

ЄR , но t ‡ + π k, kЄZ

у π/2
2π/3 π/3 1
5π/6 π/4
π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
0 х Линия котангенсов

у
4π/3
-π/2


π 0 х

(-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
arctg(-а)

= - arctg а

-а

arctg(-а )

Примеры:

1) arctg√3/3 =

π/6

2) arctg(-1) =

-π/4

из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .

arcctg(- а) = π – arcctg а

- а

arcctg(- а)

1) arcctg(-1) =

Примеры:

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6

≤ 1
или
Частные случаи
1)cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
2)cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ
3)cost

= -1
t = π+2πk‚ kЄZ

2.sint = а, где | а |≤ 1

или

Частные случаи

1)sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ

2)sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ

3)sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ

3. tgt = а, аЄR

t = arctg а + πk‚ kЄZ

4. ctgt = а, аЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
t= ±2π/3+2πk, kЄZ
Частный случай:
t = 0+πk, kЄZ
t =

arctg1+πk, kЄZ
t = π/4+πk, kЄZ.

(-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 +

πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ

Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.

2) cos(x+π/3) = ½

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

+ b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1,

тогда
a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и
решить простые уравнения.

2.Однородные
1)Первой степени:
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно
не равны нулю, то разделим обе
части уравнения на cosx. Получим:
простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m

2)Второй степени:
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x.
Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

kЄZ
2) sint < а
Ответ: (-(π+arcsin а)+2πk; arcsin а+2πk), kЄZ
3) tgt

> -а

Ответ: (-arctg а+πk; π/2+πk), kЄZ

4) ctgt > а

Ответ: (0+πk; arcctg а+πk), kЄZ.