2_05.ppt

методом точной диагонализации при достаточно большом размере системы неприменим из-за

огромного числа степеней свободы в системе
Метод Монте-Карло позволяет даже в случае макроскопически большого числа степеней свободы получить асимптотически точные результаты для термодинамических характеристик системы
Создателями метода считаются Дж. Нейман и С. Улам (1949 г.)
Методы стохастического моделирования, такие как метод МК, используются как для физических задач, так и для решения сложных математических проблем, где другие аналитические и приближенные подходы не работают

квадрата
Выберем внутри квадрата N случайных точек
Площадь фигуры равна отношению

числа точек, попавших внутрь фигуры, к полному числу точек
Преимущество: простота использования (нужен лишь хороший датчик случайных чисел)
Недостаток: ошибка расчета уменьшается в среднем как
Для более эффективной сходимости нужен алгоритм, учитывающий особенности задачи

величину


– случайная величина, распределенная с плотностью























Тогда


Применяя центральную предельную

теорему к серии случайных величин, имеем:


Таким образом, при достаточно большом N

распределение p(x), пропорциональное |g(x)| или, по возможности, близкое к этому
Такой

выбор распределения приводит к наименьшей статистической ошибке и быстрейшей скорости расчета
Такой расчет интеграла с наиболее близкой к |g(x)| плотностью распределения называется существенной выборкой
В методе Монте-Карло вместо всех возможных значений степеней свободы используются существенные выборки

функции распределения:

распределении должна быть наихудшей

зависимости от числа сгенерированных случайных точек

функции распределения моделируемой случайной величины
Эффективность метода МК растет с размерностью

рассчитываемого интеграла. Расчет двумерных и трехмерных интегралов методом МК более эффективен, чем расчет при помощи разностных схем
Метод МК с успехом используется для различных физических и математических задач и процессов: для моделирования систем массового обслуживания, информационных потоков, процессов протекания, процессов распространения нейтронов в средах и т.д.
Все вышеизложенное касается только классических задач. Для квантовых моделей и термодинамики существуют более совершенные алгоритмы, специально адаптированные под конкретные проблемы