Слайд 1Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
6 (1). Волновая функция
и
ее физический смысл
Слайд 2ГИПОТЕЗА ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
Итак, реальность волновых свойств микрочастиц подтверждена прямыми экспериментами.
Возни-кает вопрос о физическом смысле волн де-Бройля.
На первых порах развития
квантовой механики была сделана попытка рассматривать микрочастицы как волновые пакеты. В настоящее время общеприня-той является другая - статистическая - интерпрета-ция физического смысла волн де-Бройля, однако гипотеза волнового пакета до сих пор представля-ет интерес, и мы ее коротко рассмотрим.
Слайд 3ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Путем наложения (супер-
позиции) плоских волн с
непрерывно меняющими-
ся волновыми числами
можно
осуществить такой
волновой процесс, при ко-
тором амплитуда волны будет заметно отли-
чаться
от нуля только в небольшой части
пространства, а в остальном пространстве бу-
дет почти равна нулю. Такой волновой про-
цесс называется волновым пакетом.
Слайд 4ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Вследствие непрерывного изменения волнового чи-сла k сложение волн представляется
интегралом
(6.1)
где амплитуду a складываемых волн будем считать постоянной во всем
интервале от -Δk до +Δk.
Какова бы ни была зависимость частоты ω от волно-вого числа k, ее можно представить в виде ряда
(6.2)
Слайд 5ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Для малого интервала Δk в формуле (6.2) мо-жно ограничиться
первыми двумя членами разложения. Подставляя в (6.1), получаем
(6.3)
где для краткости
обозначено:
Слайд 6ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Интеграл (6.3) легко вычисляется с помощью заме-ны переменной. Обозначим
тогда
и
интеграл (6.3) принимает вид:
Слайд 7ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Подставляя пределы и умножая числитель и знаме-натель на Δk,
получаем:
(6.4)
Этот результат можно интерпретировать так же, как
формулу (4.7): косинус
представляет фазу рассматриваемого волнового процесса, а стоящий перед ним множитель переменную (модулированную) амплитуду.
Слайд 8Групповая скорость волнового пакета
Обозначим:
(6.5)
Тогда формулу (6.4) можно записать в виде:
(6.6)
Таким
образом, характер изменения амплитуды оп-
ределяется множителем
, который при
равен 1 (точнее, имеет предел, равный 1 при ).
При увеличении он убывает, и при
обращается в нуль. В промежутках между этими
значениями он имеет второстепенные максимумы,
но с точностью 5% можно считать, что весь ход фун-
кции сосредоточен на интервале , а за
пределами этого интервала он равен нулю.
Слайд 9Групповая скорость волнового пакета
Итак, множитель
при имеет максимум, равный
1. Скорость перемещения этого максиму-ма можно считать скоростью перемещения всего волнового пакета. Для ее определения запишем условие :
Дифференцируя по t, находим:
(6.7)
Сравнивая с формулой (4.10), видим, что скорость перемещения волнового пакета равна групповой скорости волн де-Бройля.
Слайд 10Волновой пакет
Итак, в результате суперпозиции
волн получился волновой пакет с
амплитудой
примерный вид
которой изображен
на рисунке. Волновой пакет движется
со скоростью, равной групповой скорости
волн де-
Бройля, которая, в свою очередь, равна скорости
частицы. Ширина пакета Δx обратно пропорцио-
нальна интервалу Δk волновых чисел волн, образу-
ющих пакет.
Слайд 11Неустойчивость волнового пакета
Фазовая скорость
зависит от импульса, и, значит, от волнового
числа k = p/h. Поэтому каждая из монохроматических волн, входящих
в пакет, распространяется со сво-ей фазовой скоростью, и пакет "расплывается" за время
Для электрона это примерно 10-26 секунды, т.е. практически мгновенно.
Слайд 12Второе возражение против гипотезы волно-вого пакета заключается в том, что
такое представление противоречит опытному факту неделимости элементарных частиц (например, электрона).
Волна не обладает свойством неделимости: при прохождении через границу раздела двух сред волна разделяется на прошедшую и отражен-ную. Частица при прохождении границы раздела сред не может разделиться. Она либо отразится от границы, либо пройдет во вторую среду.
Слайд 13Статистическое истолкование связи между волнами и частицами.
Современная точка зрения
на связь между волнами и частицами заклю-чается в статистическом истолкова-нии:
квадрат амплитуды волны в дан-ном месте есть мера вероятности нахождения частицы в данном месте.
Слайд 14Запишем волну де-Бройля в виде
где ψ0 – амплитуда волны; ν
= E/h – частота;
k = 1/λ = p/h – волновой
вектор. Вероятность на-хождения частицы в данной точке пространст-ва, согласно сказанному, определяется квадра-том амплитуды волны:
или
Слайд 15То, что частица где-то находится, есть дос-товерность т.е.
или
Это равенство называется
условием норми-ровки, а функции ψ, удовлетворяющие этому условию, называются нормирован-ными.
Слайд 16Кроме того, волновая функция, по своему смыслу, должна удовлетво-рять и
другим естественным усло-виям: она должна быть однознач-ной, конечной и непрерывной.
Эти требования накладывают некото-рые ограничения на волновые фун-кции, точнее, на выбор некоторых параметров, входящих в волновую функцию.
Слайд 17При этом возникает вопрос: не обуслов-лен ли вероятностный характер описа-ния
поведения частиц и их волновые свойства, тем, что мы имеем
дело с большим количеством частиц? Иначе говоря, обладает ли волновыми свой-ствами каждая отдельная частица или волновые свойства присущи только большой совокупности частиц?
Итак, современная физика рассматривает волны де-Бройля как волны вероятности.
Слайд 18Опыты Фабриканта, Бибермана, Сушкина (1949 год, СССР)
Ответ на этот
вопрос дали опыты под рук. В.А.Фабри-канта. Интенсивность пучка была примерно
в 107 раз слабее, чем в опытах Томсо-на. При этом средний проме-жуток времени между двумя последовательными прохож-дениями электрона через поликристаллическую пленку был примерно в 30 000 раз больше, чем время прохож-дения электрона через при-бор.
Схема этих опытов ана-логична рассмотренным выше опытам Томсона, но использовался элек-тронный пучок очень малой интенсивности.
Слайд 19Другими словами, на поликристаллическую пластинку в каждый данный момент вре-мени
падала не совокупность электронов, а отдельный электрон. Однако и в
этих опытах дифракционная картина, возника-ющая за достаточно длительный интер-вал времени, ничем не отличалась от обычной, т.е. той, что получается с интен-сивными пучками.
Это означает, что волновыми свойствами обладает каждая отдельная частица.