19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара

их производными. Если искомая функция зависит от одной переменной, то

Постановка задачи

искомая функция (механическое напряжени) T(x) зависит от одной переменной x

Tx – компонента механических напряжений, F - действующая на сплошную среду сила в расчёте на единицу массы

переменных, дифференциальное уравнение будет уравнением в частных производных.
Например, движение упругой

В этом уравнении функция u(t,x) зависит от времени (t) и направления смещения среды (x).

ux – смещение среды, ρ – плотность среды, Tx – компонента напряжений

или несколько производных от искомой функции y = y(x):
где

уравнение первого порядка;

уравнение второго порядка

явном виде:
Уравнение для производных имеет бесконечное множество решений. Для получения

задач, для которых доказано существование и единственность решений.
Первый тип –

y' (x0) = y'0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

краевые, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений

порядка, разрешенное относительно производной
удовлетворяющее начальному условию

y = y(x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

т.е. найти решение дифференциального уравнения. Нахождение такого решения называют решением задачи Коши. Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y1,y2,...,yn решения уравнения y(x) в точках x1,x2,...,xn с некоторым шагом h.

= 1
общее решение : у = х2 + С
2

для заданной
последовательности аргументов
х0, х1,…,хn и числа у0,
не

h=xk-xk-1

условием
x=x0, y(x0)=y0
[a, b]
шаг интегрирования

отрезке [0;1.5], h=0.25
Решение

в ряд Тейлора
повышение точности расчета может быть достигнуто за

С учетом этого выражения разложение функции в ряд Тейлора принимает вид

ошибка при этом имеет порядок h3

условием
x=x0, y(x0)=y0
Найти решение уравнения на отрезке [a, b]

х0=0, у(х0)=у0=1.5 методом
Рунге-Кутта. Вычислить с точностью до 0,01.
Решение
k1(0)=(y0-x0)h=1.5000*0.25=0.3750

непрерывна и имеет
ограниченную частную производную f’y (х, у).
Тогда

N = mах |f ’y(х, у)|

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
y’ = f(x,

с начальными условиями

y(x0) = y0 (2).

Предполагается, что в некоторой окрестности точки M0(x0, y0) уравнение (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения.

аналогичен.
Интегрируя правую и левую части уравнения (1) в пределах

или в силу начального условия (2), будем иметь

(3)

данным значением y0, получим первое приближение
Так как

Очевидно, решение интегрального уравнения (3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2).

Для нахождения этого решения применим метод последовательных приближений.

функцию y1, будем иметь второе приближение
и т.д.
Все дальнейшие приближения

(n = 1, 2, …)

Геометрически последовательные приближения представляют собой кривые yn = yn(x) (n = 1, 2, …), проходящие через общую точку M0(x0, y0).

начального приближения y0, можно выбирать любую функцию, достаточно близкую к

Например, иногда выгодно в качестве y0 брать конечный отрезок ряда Тейлора искомого решения.

аналитичность правой части дифференциального уравнения необязательна, поэтому этот метод можно

Пример 1. Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения

y’ = x – y,

Удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.

= 1. Так как
то будем иметь
Аналогично

где
(5)
Записывая векторное уравнение (4) в

n-го порядка, если его записать в виде системы.

условиям
y1(0) = 1; y2(0) = 0