1 Компьютерные основы Лекция 2

системах
Основные методы перевода чисел в позиционных системах

компьютерных системах

компьютерных системах
Основные определения:
Система счисления - строго определенная совокупность приемов и

правил для наименования и отображения чисел с помощью набора символов, которые называются цифрами.
Цифры - знаки, используемые при записи чисел.
Числа и цифры различаются между собой так же, как различаются между собой слова и буквы.
Основные виды систем счисления:
- Унарная (числа отображаются засечками, черточками, палочками и т.д.);
- Непозиционная (от положения цифры в записи не зависит величина, которую она означает);
- Позиционная (величина, обозначаемая цифрой в записи числа,  зависит от ее позиции в этой записи)
Позиция - место цифры в числе.

X = 10; L = 50; D = 500; M

= 1000);
алфавитная.

Примеры позиционных систем счисления:
вавилонская (шестидесятеричная);
пятеричная;
двенадцатеричная;
двадцатеричная;
с ступенчатой весом разрядов (десятичная, шестнадцатеричная, восьмеричная, троичная, двоичная).

Системы счисления, выбор системы счисления для использования в компьютерных системах

знака, символизирующего единицу.
Способ записи: зарубки, чёрточки, палочки

периоду палеолита (10 - 11 тыс. лет до н. э.)

Этот способ записи чисел называют единичной ("палочной”, “унарной”) системой счисления  

Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает.

100 1000
10000

100000 1000000 10000000

Была создана
5000 лет тому назад

использовали палочки
Каждая единица изображалась отдельной палочкой

Такими путами египтяне связывали

коров Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.

1

10

Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.

100

1000

Цветок лотоса

Египетская нумерация

головастик

100 000

1 000 000

10 000 000

Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное, так изображали самое большое свое число

Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу

1000

Поднятый палец - будь внимателен

нового типа, так называемая алфавитная нумерация.
Алфавитная нумерация
В этой системе

записи числа обозначались при помощи букв алфавита., над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30, ..., 90, и следующие девять - числа 100, 200, ..., 900.
Таким образом, можно было обозначать любое число до 999.

кириллическая нумерация

число получалось как сумма значений отдельных букв.
Например, записи –

   все эквивалентны и означают число 532.
Однако выполнять арифметические вычисления в такой системе было настолько трудно, что без применения каких-то приспособлений оказалось обойтись практически невозможно

500 - 
- 
2 - 

 
500 30 2

  
2 500 30

  
500 2 30

Древнегреческая нумерация

90

900

— титло ( ~ ).

До XVII века эта форма

записи чисел была официальной на территории России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Так можно было записывать числа до 999. Для больших чисел использовался знак тысяч , который ставился впереди символа, обозначавшего число

циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме.

В ней имеются узловые числа: один, пять и т. д.
Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других

Это нумерация, известная нам и в настоящее время. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни.

Например,
четыре записывается как IV, т. е. пять минус один,
восемь — VIII (пять плюс три), сорок—XL (пятьдесят минус десять),
девяносто шесть—XCVI (сто минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.

знаков.
Вавилонская
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Двенадцатеричная
и др.
системы счисления, в которых вклад каждого знака в

величину числа зависит от его положения (позиции) в последовательности знаков, изображающей число

н. э.
Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н.

э.

Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.

буквально "пустое место"
Это слово применялось для названия знака

пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто). Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОМ ПРИНЦИПЕ. В таких системах для записи одинакового числа единиц,

десятков,сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда.

Если десятки обозначить символом Д,
а сотни - С, то число 325 будет выглядеть
так : 3С2Д5.

Между II и VI вв.н.э. Индийцы познакомились с греческой астрономией.

Индийцы и соединили греческие принципы нумерации со своей десятичной мультипликативной системой.

единицы.
333 = 3 * 100 + 3 * 10 +

3

Всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки:

Эта система является позиционной потому, что величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её позиции. Например:

26,38=2*101 + 6*100 +3*10-1 + 8*10-2
Число 10 является основанием десятичной системы счисления.

в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения

арифметических действий над двоичными числами. Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры.
Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов.

составляющих его цифр на соответствующие степени восьмёрки:
7764,18=7*83

+ 7*82 +6*81 + 4*80
+ 1*8-1=4084,12510

– дюжина

Основание системы равно двенадцати. Используются десять цифр от 0

до 9 и две латинские буквы А и В.
Применение:

сервизы на 6
или 12 персон


Набор карандашей

или
фломастеров из 6 или 12 цветов.

знаков на соответствующие степени числа шестнадцать:
3AF,816=3*162 +

10*161 +15*160 + 8*16-1 =943,510

Шестнадцатеричная система счисления

представления информации в памяти компьютера.
0,1
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.
Алфавит двоичной системы

счисления состоит из 0 и 1

Достоинства 2 с/с:
Простота кодирования;
Простота арифметических действий;
Простота записи, хранения и передачи техническими средствами.

Недостатки 2 с/с:
Много места занимает запись числа;
Трудоемкость перевода в 10 с/с и наоборот.

Основанием, служит цифра 2

Двоичная система счисления

7
Основанием является цифра 8
Шестнадцатеричная система счисления
Алфавит:0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Основанием является цифра 16

810 =108

Например: 2768

1610=1016

Например: 26A716

Применяется для целей коммуникации человека с ЭВМ.

система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости

и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина.
Для программистов удобнее работать с более компактной записью.
Такими системами и являются 8-аяи 16-ая

10000000001 - двоичная 10000000001

1

0

0

2

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина.
Для программистов удобнее работать с более компактной записью.
Такими системами и являются 8-аяи 16-ая

10000000001 - двоичная 10000000001

1

0

4

восьмеричная

шестнадцатеричная

компьютерных системах

компьютерных системах

способами, не изменяя его количества.
А 10= 3745
А10= 3000 +

700 + 40 + 5

А10= 3x1000 + 7x100 + 4x10 + 5

А10= 3x103 + 7x102 + 4x101 + 5x100

(любое число в степени 0 равно 1)

Последнюю запись называют разложением по степеням основания.

Формула разложения числа по степеням основания

можно представить в виде суммы цифр, которые в свою очередь,

равны произведению цифры на основание в степени, равной номеру разряда. При разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с «0».

Ар= а nрn+…+а1р1+а0p0

с основанием p;
-

- цифры числа;
- n - количество разрядов (позиций) в целой части числа;
- m - количество разрядов (позиций) в дробной части числа;
- k - индекс степени.

Пример:

Системы счисления, выбор системы счисления для использования в компьютерных системах

замещения;
метод деления (умножения) на основу;,
метод вычитания степеней.
Основные методы перевода чисел

в позиционных системах

целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2n

, необходимо данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. Если при этом в последний левой группе окажутся меньше n разрядов, то необходимо дополнить ее нулями до нужного числа разрядов. Затем следует рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и заменить ее соответствующей цифрой в системе 2n.


Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадцатеричную системы аналогичное разбиение на двоичные триады или тетрады производится от запятой вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями).

Основные методы перевода чисел в позиционных системах

перевода чисел из недесятичных системы счисления в десятичную.

Приклади:

Основные методы

перевода чисел в позиционных системах

из системы с основанием p в систему с основанием q,

необходимо разделить эту часть числа на q. Остаток от деления даст младший разряд числа в системе q. Полученную при этом долю необходимо снова разделить на q - остаток даст следующий разряд числа и т.д.


Для определения а0 разделим А(10) на р . После деления получим частицу:



и остаток от деленияа0 .

Основные методы перевода чисел в позиционных системах

в позиционных системах

ее необходимо умножить на q. Целая часть полученного произведения будет

первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком в системе с основанием q. После отделения дробной части произведения, ее необходимо снова умножить на q. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Для того, чтобы определить первую цифру после запятой в новом представлении числаВ(10) умножим на р. После умножения получим


Целая часть произведения дает значениеb-1 .

Основные методы перевода чисел в позиционных системах

в позиционных системах

степень числа с основанием q, умноженной на максимально возможный коэффициент,

меньший основания q (например, для двоичной системы таким коэффициентом будет 1). Этот коэффициент и является значимой цифрой числа в новой системе.
Пример (p = 10, q = 2)
237 – 27 = 237 – 128 = 109;
109 – 26 = 109 – 64 = 45;
45 – 25 = 45 – 32 = 13;
13 – 23 = 13 – 8 = 5;
5 – 22 = 5 – 4 = 1;
1 – 20 = 1 – 1 = 0.
Таким образом, можно записать ступенчатый ряд:
237 = 1·27 + 1·26 + 1·25 + 0·24 + 1·23 + + 1·22 + 0·21 + 1·20 .

4 метод вычитания степеней

237 = 3·82 + 5·81 + 5·80.

Основные методы перевода чисел в позиционных системах

чем заключаются различия между позиционной и непозиционной системами счисления?
Какие системы

счисления могут быть отнесены к непозиционных?
Каким образом записываются числа в римской системе счисления?
Какие преимущества и недостатки десятичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и двоичной систем счисления?
Какая система счисления является наиболее экономной при представлении чисел и какая система счисления является наиболее удобной для использования в компьютерных системах и почему?
Почему на практике почти не находят применения системы счисления с основанием более 16?
Составьте таблицу, в которой перечислены все двоичные, троечные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа от 0 до 32.
Как определяется количество двоичных разрядов, необходимых для кодирования одной цифры произвольной позиционной системы счисления?
Выучите наизусть запись всех двоичных чисел от 0 до 32.